Question

在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；
（1）若∠C为直角，则a²+b²=c²；
（2）若∠C为锐角，则a²+b²与c²的关系为：a²+b²＞c²
证明：如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC-CD=a-CD
在△ABD中：AD²=AB²-BD²
在△ACD中：AD²=AC²-CD²
AB²-BD²=AC²-CD²
c²-（a-CD）²=b²-CD²
∴a²+b²-c²=2a•CD
∵a＞0，CD＞0
∴a²+b²-c²＞0，所以：a²+b²＞c²
（3）若∠C为钝角，试推导a²+b²与c²的关系．
（4）在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．

Answer 1

解：（3）如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD
在△ABD中：AD²=AB²-BD²
在△ACD中：AD²=AC²-CD²
AB²-BD²=AC²-CD²
c²-（a+CD）²=b²-CD²
∴a²+b²-c²=-2a•CD
∵a＞0，CD＞0
∴a²+b²-c²＜0
所以：a²+b²＜c²
（4）当∠C为钝角时，根据公式：＜c＜a+b可得，5＜c＜7；
当∠B为钝角时，根据公式：b-a＜c＜可得，1＜c＜．
分析：根据题意作图，用证明（2）的方法证明即可推导出a²+b²与c²的关系．
点评：此题主要考查学生对勾股定理在实际中的运用能力．