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如图,在平面直角坐标系中,已知点A坐标为(2,4),直线x=2与x轴相交于点B,连接OA,抛物线y=x2从点O沿OA方向平移,与直线x=2交于点P,顶点M到A点时停止移动.
请探索:是否存在这样的点M,使得线段PB最短;若存在,请求出此时点M的坐标.若不存在,请说明理由.

设OA所在直线的函数解析式为y=kx,
∵A(2,4),
∴2k=4,
∴k=2,
∴OA所在直线的函数解析式为y=2x
∵设顶点M的横坐标为m,且在线段OA上移动,
∴y=2m(0≤m≤2).
∴顶点M的坐标为(m,2m),
∴抛物线函数解析式为y=(x-m)2+2m.
∴当x=2时,y=(2-m)2+2m=m2-2m+4(0≤m≤2).
∴点P的坐标是(2,m2-2m+4).
∵PB=m2-2m+4=(m-1)2+3,
又∵0≤m≤2,
∴当m=1时,PB最短.
∴顶点M的坐标为(1,2).
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C的坐标分别为(-1,0),(5,0),(0,2).
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动,连接PC并延长到点E,使CE=PC,将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB.若点P运动的时间为t秒,(0≤t≤6)设△PBF的面积为S;
①求S与t的函数关系式;
②当t是多少时,△PBF的面积最大,最大面积是多少?
(3)点P在移动的过程中,△PBF能否成为直角三角形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A,B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上,点P在AB上,PA=1,AO=2.经过原点的抛物线y=mx2-x+n的对称轴是直线x=2.
(1)求出该抛物线的解析式.
(2)如图1,将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处,两直角边恰好分别经过点O和C.现在利用图2进行如下探究:
①将三角板从图1中的位置开始,绕点P顺时针旋转,两直角边分别交OA、OC于点E、F,当点E和点A重合时停止旋转.请你观察、猜想,在这个过程中,
PE
PF
的值是否发生变化?若发生变化,说明理由;若不发生变化,求出
PE
PF
的值.
②设(1)中的抛物线与x轴的另一个交点为D,顶点为M,在①的旋转过程中,是否存在点F,使△DMF为等腰三角形?若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

已知:抛物线C1:y=-2x2+bx-6与抛物线C2关于原点对称,抛物线C1与x轴分别交于A(1,0),B(m,0),顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N.
(1)求m的值;
(2)求抛物线C2的解析式;
(3)若抛物线C1与抛物线C2同时以每秒1个单位的速度沿x轴方向分别向左、向右运动,此时记A,B,C,D,M,N在某一时刻的新位置分别为A′,B′,C′,D′,M′,N′,当点A′与点D′重合时运动停止.在运动过程中,四边形B′M′C′N′能否形成矩形?若能,求出此时运动时间t(秒)的值,若不能,说明理由.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

二次函数y=ax2的图象过(2,1),则二次函数的表达式为______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

某塑料大棚的截面如图所示,曲线部分近似看作抛物线.现测得AB=6米,最高点D到地面AB的距离DO=2.5米,点O到墙BC的距离OB=1米.借助图中的直角坐标系,回答下列问题:
(1)写出点A,B的坐标;
(2)求墙高BC.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

某镇地理环境偏僻,严重制约经济发展,丰富的花木产品只能在本地销售.镇政府对该花木产品每年固定投资x万元,所获利润为P=-
1
50
(x-30)2+10
万元.为了响应我国西部大开发的宏伟决策,镇政府在制定经济发展的10年规划时,拟定开发花木产品,而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元.若开发该产品,在前5年中,必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路;后5年公路修通时,花木产品除在本地销售外,还可运往外地销售,运往外地销售的花木产品,每年固定投资x万元可获利润Q=-
49
50
(50-x)2+
194
5
(50-x)+308
万元.
(1)若不进行开发,求10年所获利润的最大值是多少?
(2)若按此规划进行开发,求10年所获利润的最大值是多少?
(3)若按此规划进行开发后,后5年所获利润共为2400万元,那么当本地销售投资金额大于外地销售投资金额时,每年用于本地销售投资的金额约为多少万元?(
13
≈3.606
55
≈7.416
,计算结果保留1位小数)

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点A在点(-2,0)和(-1,0)之间(包括这两点),顶点C是矩形DEFG上(包括边界和内部)的一个动点,则abc______0(填“>”或“<”)

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