Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上的一点，以CD为直径的⊙O交AC于E，连接BE交CD于P，交⊙O于F，连接DF，∠ABC＝∠EFD．

(1)求证：AB与⊙O相切；

(2)若AD＝4，BD＝6，则⊙O的半径＝ ；

(3)若PC＝2PF，BF＝a，求CP(用a的代数式表示)．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）证明∠CDF+∠FDB=90°，即∠CDB=90°，即可证明AB与⊙O相切；

（2）证明△CBD∽△ADC，求出CD=2，即可得出⊙O的半径；

（3）证明△PCF∽△PBC，得出，根据已知可得PF=BF=a，从而得到CP的值．

解：（1）∵∠ACB=90°

∴∠CBE+∠CEB=90°

∵∠ABC=∠EFD，

∠ABC=∠CBE+∠FBD

∠EFD=∠FDB+∠FBD

∴∠CBE=∠FDB

∵∠CEB=∠CDF

∴∠CDF+∠FDB=90°

即∠CDB=90°

∴AB与⊙O相切．

（2）∵∠ACD+∠BCD=90°

∠ACD+∠A=90°

∴∠BCD=∠A

∵∠BCD=∠ADC=90°

∴△CBD∽△ADC

∴

∴CD2=ADBD=4×6=24

∴CD=2

即⊙O的直径为2

∴⊙O的半径为．

故答案为．

（3）∵CD是⊙O的直径

∴∠CFD=90°

∴∠CDF+∠DCF=90°

∵∠CDB=90°

∴∠CDF+∠FDB=90°

∴∠DCF=∠FDB

∵∠EBC=∠FDB

∴∠EBC=∠DCF

∴△PCF∽△PBC

∴

∴PB=2PC=4PF

∵PB=BF+PF

∴PF=BF=a

∴PC=2PF=a

故答案为．