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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在矩形AOCD中，AO=3，0C=4，以AO，OC，所在直线为x轴，y轴建立直角坐标系，点P是OC延长线上一点，把射线AP沿直线AD翻折，交射线CD于点Q．
    （1）若CP=1，求直线PQ的解析式；
    （2）设点P的坐标为（m，0），△APQ的面积等于12，求m的值或m的取值范围；
    （3）在（1）的条件下，将△AOC以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动，直到O与P重合时停止．设运动的时间为t，△OAC移动后的三角形为O′A′C′，若△O′A′C′与△APD重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式．
    考点：一次函数综合题
    专题：常规题型
    分析：（1）通过三角形相似求得DE的长，进而求得Q的坐标，应用待定系数法即可求得．
    （2）△AEQ的面积加上△CPQ的面积减去△CPE的面积即可求得△APQ的面积．
    （3）分三种情况分类讨论即可求得．
    解答：解：（1）设AP交CD与E，
    ∵AD∥OC，AD=4，CP=1，CD=3，
    ∴
    DE
    CE
    =
    AD
    CP
    ，即
    DE
    3-DE
    =
    4
    1
    ，
    解得：DE=
    12
    5
    ，
    ∴Q（4，
    27
    5
    ）．
    设直线PQ的解析式为y=kx+b，
    ∵P（5，0），Q（4，
    27
    5
    ），
    ∴
    27
    5
    =4k+b
    0=5k+b
    ，
    解得
    k=-
    27
    5
    b=27
    ，
    ∴PQ的解析式为y=-
    27
    5
    x+27．


    （2）如上图，∵AD=4，PC=m-4，设DE=h，则CE=3-h，
    ∴
    h
    3-h
    =
    4
    m-4
    ，
    解得h=
    12
    m
    ，
    ∴EQ=
    24
    m
    ，CQ=3+
    12
    m
    ，CE=3-
    12
    m
    ，
    ∵S△EQA=
    1
    2
    EQ•AD=
    1
    2
    •
    24
    m
    •4=
    48
    m
    ，
    S△CPQ=
    1
    2
    PC•CQ=
    1
    2
    （m-4）（3+
    12
    m
    ）=
    3
    2
    （m-4）+
    6
    m
    （m-4），
    S△CPE=
    1
    2
    PC•CE=
    1
    2
    （m-4）（3-
    12
    m
    ）=
    3
    2
    （m-4）-
    6
    m
    （m-4），
    ∴S△APQ=S△AEQ+S△CPQ-S△CPE=
    48
    m
    +[
    3
    2
    （m-4）+
    6
    m
    （m-4）]-[
    3
    2
    （m-4）-
    6
    m
    （m-4）]=
    48
    m
    +12-
    48
    m
    =12，
    ∴无论m取大于4的任何值三角形APQ的面积都等于12，
    故m＞4．

    （3）分三种情况：
    ①当0≤t＜1时，

    如图1，∵AD∥OC，
    ∴△AA′F∽△PC′F，
    ∵相似三角形对应高的比等于相似比，
    设MF=h，则FN=3-h，
    ∵AA′=t，PC′=1-t，
    ∴
    h
    3-h
    =
    t
    1-t
    ，
    解得h=3t，
    ∴S△AA'F=
    1
    2
    AA′•h=
    1
    2
    t•3t=
    3
    2
    t2，
    同理，△ADE∽△PCE，
    ∴
    DE
    EC
    =
    AD
    CP
    ，
    ∴
    DE
    3-DE
    =
    4
    1
    ，
    解得DE=
    12
    5
    ，
    ∵△AA′G∽△ADE，
    ∴
    AG
    DE
    =
    AA′
    AD
    ，
    即
    AG
    12
    5
    =
    t
    4
    ，
    解得A′G=
    3
    5
    t，
    ∴S△AA'G=
    1
    2
    AA′    •AG=
    1
    2
    t•
    3
    5
    t=
    3
    10
    t2，
    ∴S=S△AA'F-S△AA'G=
    3
    2
    t2-
    3
    10
    t2=
    6
    5
    t2，
    即S=
    6
    5
    t2（0≤t＜1）；
    ②当1≤t＜4时，

    如图2，由①可知S△AA'G=
    3
    10
    t2，
    设△A′DF的A′D边上的高为h，则△PC′F的PC′边上的高为3-h，
    ∴
    h
    3-h
    =
    A′D
    PC′
    =
    4-t
    t-1
    ，
    解得h=4-t，
    ∴S△A'DF=
    1
    2
    A′D•h=
    1
    2
    （4-t）（4-t）=8-4t+
    1
    2
    t2，
    ∴S=S△ADP-S△AA'G-S△A'DF=6-
    3
    10
    t2-8+4t-
    1
    2
    t2=-
    4
    5
    t2+4t-2，
    即S=-
    4
    5
    t2+4t-2（1≤t＜4）；
    ③当4≤t≤5时，

    如图3，∵A′D=t-4，O′P=5-t，
    O′E
    A′E
    =
    O′P
    A′D
    ，
    设O′E=h，则A′E=3-h，
    ∴
    h
    3-h
    =
    5-t
    t-4
    ，
    解得：h=15-3t，
    ∴S△O'PE=
    1
    2
    O′P•h=
    1
    2
    （5-t）•（15-3t）=
    75
    2
    -15t+
    3
    2
    t2，
    由①可知A′G=
    3
    5
    t，
    ∴O′G=3-
    3
    5
    t，
    ∴S△O'PG=
    1
    2
    O′P    •O'G=
    1
    2
    （5-t）（3-
    3
    5
    t）=
    15
    2
    -3t+
    3
    10
    t2，
    ∴S=S△O'PE-S△O'PG=
    75
    2
    -15t+
    3
    2
    t2-（
    15
    2
    -3t+
    3
    10
    t2）=
    6
    5
    t2-12t+30，
    即S=
    6
    5
    t2-12t+30（4≤t≤5）．
    点评：本题考查了待定系数法求解析式，三角形相似的性质，以及分类讨论的思想，能够想象出图形的状况是本题的关键．
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    1
    2
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    1
    2
    -
    a
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    ）÷
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    1
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    2
    3
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    		3
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    2
    3
    B、
    3
    5
    C、
    2
    5
    D、
    1
    5

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