如图.在平面直角坐标系中.直线l:y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4与x轴.y轴分别交于点M.N.高为3的等边三角形ABC.边BC在x轴上.将此三角形沿着x轴的正方向平移.在平移过程中.得到△A1B1C1.当点B1与原点重合时.解答下列问题:(1)求出点A1的坐标.并判断点A1是否在直线l上,(2)求出边A1C1所在直线的解析式,(3)在坐标平面内找一点P.使得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A₁B₁C₁，当点B₁与原点重合时，解答下列问题：
（1）求出点A₁的坐标，并判断点A₁是否在直线l上；
（2）求出边A₁C₁所在直线的解析式；
（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A₁、C₁、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．

分析（1）如图作A₁H⊥x轴于H．在Rt△A₁OH中，由A₁H=3，∠A₁OH=60°，可得OH=A₁H•tan30°=$\sqrt{3}$，求出点A坐标即可解决问题；
（2）利用待定系数法即可解决问题；
（3）分三种情形讨论即可解决问题；

解答解：（1）如图作A₁H⊥x轴于H．
在Rt△A₁OH中，∵A₁H=3，∠A₁OH=60°，
∴OH=A₁H•tan30°=$\sqrt{3}$，
∴A₁（$\sqrt{3}$，3），
∵x=$\sqrt{3}$时，y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×$\sqrt{3}$+4=3，
∴A₁在直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+4上．

（2）∵A₁（$\sqrt{3}$，3），C₁（2$\sqrt{3}$，0），
设直线A₁C₁的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}k+b=3}\\{2\sqrt{3}k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\sqrt{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线A₁C₁的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+6．

（3）∵M（4$\sqrt{3}$，0），A₁（$\sqrt{3}$，3），C₁（2$\sqrt{3}$，0），
由图象可知，当以P、A₁、C₁、M为顶点的四边形是平行四边形时，P₁（3$\sqrt{3}$，3），P₂（5$\sqrt{3}$，-3），P₃（-$\sqrt{3}$，3）．

点评本题考查一次函数综合题．平行四边形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．

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