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已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(1,
32
),其顶点E的横坐标为2,此抛物线与x轴分别交于B(x1,0),C(x2,0)两点,且x2-x1=4.
(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)连接EB、EC,判断△BEC的形状,并说明理由.
分析:(1)已知了顶点E的横坐标为2,即抛物线的对称轴为x=2,联立B、C的横坐标差,即可求得B、C的坐标,然后将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中,通过联立方程求出该抛物线的解析式,进而可将x=2代入上式求得顶点E的坐标;
(2)根据B、E、C三点坐标,可求得△BEC三边的长,然后根据它们之间的关系来判断△BEC的形状.
解答:解:(1)∵抛物线顶点横坐标为2,x2-x1=4,
∴x1=0,x2=4,
∴B(0,0),C(4,0),
由于抛物线经过A、B、C三点,则有:
a+b+c=
3
2
c=0
16a+4b+c=0

解得:
a=-
1
2
b=2
c=0

∴抛物线:y=-
1
2
x2+2x

∵当x=2时,y=2,
∴E(2,2);

(2)在△EBC中,x=2垂直平分BC,
EB=EC=
22+22
=2
2
,BC=4,
而EB2+EC2=16=BC2
∴△EBC是等腰直角三角形.
点评:此题考查的是二次函数解析式的确定以及等腰直角三角形的判定,属基础题,较容易.
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,k=
 

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2
,b+ac=3.
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ca
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