Question

如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、OB的长(0A<OB)是方程组的解，点C是直线与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=
(1)求点C的坐标；
(2)求直线AD的解析式；
(3)P是直线AD上的点，在平面内是否存在点Q，使以0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1) (3，6) (2) y="-x+6" (3)  Q₁(-3，3) Q₂(3，-3) Q₃(3，-3) Q₄(6，6)

解：(1)OA=6，OB=12  ……………………………………………………………1分
直线AB……………………………………1分
联立……………………………………2分
∴ 点C的坐标为(3，6)……………………………………………………1分
(2)
点D的坐标为(2，4)……………………………………………………1分
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得……………………………………1分
解得
∴ 直线AD的解析式为y=-x+6  ………………………………………1分
(3)存在．
Q₁(-3，3)……………………………………………………………1分
Q₂(3，-3)………………………………………………………………1分
Q₃(3，-3)  …………………………………………………………………1分
Q₄(6，6)  ……………………………………………………………………1分
（1）设直线AB的解析为y=kx+b，解方程组方程组 2x=y，x-y="6" ，得到的解即为OA，OB的长度，进而知道A和B的坐标，再把其横纵坐标分别代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直线y=2x联立解方程组，方程组的解即为点C的坐标；
（2）要求直线AD的解析式，需求出D的坐标，因为点D在直线OC上因此可设D（a，2a），又因为OD=，由勾股定理可求出a的值，从而求得点D的坐标，把A、D的坐标代入，利用方程组即可求解；
（3）由（2）中D的坐标可知，DF=AF=4，所以∠OAD=45°，因为以O、A、P、Q为顶点的四边形是菱形，所以需分情况讨论：若P在x轴上方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP，过P作PM⊥x轴，因为∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=，OM=6-，即P（6- ， ），所以Q的横坐标为6--6=-，Q1（-， ）；若P在x轴下方，OAPQ是菱形，则PQ∥OA，PQ=OA=6=AP．过P作PM⊥x轴，因为∠MAP=∠OAD=45°，利用三角函数可求出PM=AM=，OM=6+，即P（6+，-），所以Q的横坐标为6+-6=，Q₂（，-）；若Q在x轴上方，OAQP是菱形，则∠OAQ=2∠OAD=90°，所以此时OAQP是正方形．又因正方形边长为6，所以此时Q（6，6）；若Q在x轴下方，OPAQ是菱形，则∠PAQ=2∠OAD=90°，所以此时OPAQ是正方形．又因正方形对角线为6，由正方形的对称性可得Q（3，-3）．