Question

如图，二次函数过A（0，m）、B（-3，0）、C（12，0），过A点作x轴的平行线交抛物线于一点D，线段OC上有一动点P，连接DP，作PE⊥DP，交y轴于点E．
（1）求AD的长；
（2）若在线段OC上存在不同的两点P₁、P₂，使相应的点E₁、E₂都与点A重合，试求m的取值范围；
（3）设抛物线的顶点为点Q，当60°≤∠BQC≤90°时，求m的变化范围．

Answer 1

分析：（1）根据二次函数的对称性可以得出答案；
（2）利用圆的相关知识可以知道：直径所对应的圆上的角为90°，所以由在线段OC上存在不同的两点P₁、P₂，使相应的点E₁、E₂都与点A重合可知：以AD为直径的圆与BC有两个交点．
（3）解出当∠BQC=60°、∠BQC=90°时m的值，以这两个值为边界便可以确定出m的取值范围．

解答：解：（1）∵B（-3，0）、C（12，0）是关于抛物线对称轴对称的两点，AD∥x轴，∴A、D也是关于抛物线对称轴对称的两点．
∵A（0，m），
∴D（9，m），
∴AD=9；

（2）∵PE⊥DP，
∴要使线段OC上存在不同的两点P₁、P₂，
使相应的点E₁、E₂都与点A重合，也就是使以AD为直径的圆与BC有两个交点，
即r＞|m|．
∵r=

9

2

，
∴|m|＜

9

2

．
又∵m＞0，
∴0＜m＜

9

2

；

（3）设抛物线的方程为：y=a（x+3）（x-12），
又∵抛物线过点A（0，m），
∴m=-36a，
∴a=-

1

36

m，
∴y=-

1

36

m(x+3)(x-12)=-

1

36

m(x-

9

2

)2+

25

16

m，
∵tan∠BQM=

BM

QM

，QM=

25

16

m，
又∵60°≤∠BQC≤90°，
∴由抛物线的性质得：30°≤∠BQM≤45°，
∴当∠BQM=30°时，可求出m=

24

5

3

，
当∠BQM=45°时，可求出m=

24

5

，
∴m的取值范围为

24

5

≤m≤

24

5

3

．
答：m的取值范围为

24

5

≤m≤

24

5

3

．

点评：本题属于综合类问题，主要考查了二次函数图象的相关知识．