分析 (1)根据题意作辅助线过点B作BC⊥y轴于点C,根据等边三角形的性质即可求出点B的坐标,
(2)根据∠PAQ=∠OAB=60°,可知∠PAO=∠QAB,得出△APO≌△AQB总成立,得出当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°,
(3)根据点P在x的正半轴还是负半轴两种情况讨论,再根据全等三角形的性质即可得出结果.
(4)若点T为平面直角坐标系内一点,且△TOA,△TOB,△TAB均为等腰三角形,则T在OA、OB、OC的垂直平分线上,如图4所示,然后通过解直角三角形即可求得T的坐标.
解答 解:(1)过点B作BC⊥y轴于点C,如图1,
∵A(0,2),△AOB为等边三角形,
∴AB=OB=2,∠BAO=60°,
∴BC=$\sqrt{3}$,OC=AC=1,即B($\sqrt{3},1$);
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{3}$x2+2;
(2)不改变.
如图2,当点P在x轴上运动(P不与O重合)时,不失一般性,
∵∠PAQ=∠OAB=60°,
∴∠PAO=∠QAB,
在△APO和△AQB中,
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AQ}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AO=AB}\end{array}\right.$
∴△APO≌△AQB,
∴∠ABQ=∠AOP=90°总成立,
∴当点P在x轴上运动(P不与Q重合)时,∠ABQ为定值90°.
(3)由(2)可知,点Q总在过点B且与AB垂直的直线上,可见AO与BQ不平行.
①当点P在x轴负半轴上时,点Q在点B的下方,如图2,
此时,若AB∥OQ,四边形AOQB即是梯形,
当AB∥OQ时,∠BQO=90°,∠BOQ=∠ABO=60°.
又OB=OA=2,可求得BQ=$\sqrt{3}$,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=$\sqrt{3}$,
∴此时P的坐标为(-$\sqrt{3}$,0).
②当点P在x轴正半轴上时,点Q在B的上方,如图3,
此时,若AQ∥OB,四边形AOBQ即是梯形,
当AQ∥OB时,∠ABQ=90°,∠QAB=∠ABO=60°.
又AB=2,可求得BQ=2$\sqrt{3}$,
由(2)可知,△APO≌△AQB,
∴OP=BQ=2$\sqrt{3}$,
∴此时P的坐标为(2$\sqrt{3}$,0).
综上,P的坐标为(-$\sqrt{3}$,0)或(2$\sqrt{3}$,0).
(4)若点T为平面直角坐标系内一点,且△TOA,△TOB,△TAB均为等腰三角形,则T在OA、OB、OC的垂直平分线上,如图4所示,
∵A(0,2),($\sqrt{3}$,1),
∴T1($\sqrt{3}$-2,1),T2(1,2-$\sqrt{3}$),T3(1,$\sqrt{3}$),T4($\frac{\sqrt{3}}{3}$,1).
故T点的坐标为($\sqrt{3}$-2,1)或(1,2-$\sqrt{3}$)或(1,$\sqrt{3}$)或($\frac{\sqrt{3}}{3}$,1).
点评 本题是二次函数的综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的性质、梯形的判定和性质以及全等三角形的判定及性质,难度适中.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
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