Question

【题目】如图，平面直角坐标系中，直线AB：交y轴于点，交x轴于点B．

（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；

（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．

①当时，求点P的坐标；

②在①的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角，求点C的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）；（2）①（2，6）；②（6，4）

【解析】

（1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b=4，则直线的解析式为y=-x+4，令y=0可求得x=4，故此可求得点B的坐标；
（2）①由题l垂直平分OB可知OE=BE=2，将x=2代入直线AB的解析式可求得点D的坐标，设点P的坐标为（2，n），然后依据S△APB=S△APD+S△BPD可得到△APB的面积与n的函数关系式为S△APB=2n-4；由S△ABP=8得到关于n的方程可求得n的值，从而得到点P的坐标；
②如图1所示，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．设点C的坐标为（p，q），先证明△PCM≌△CBN，得到CM=BN，PM=CN，然后由CM=BN，PM=CN列出关于p、q的方程组可求得p、q的值；如图2所示，同理可求得点C的坐标．

解：（1）∵把A（0，4）代入y=-x+b得b=4，

∴直线AB的函数表达式为：y=-x+4．

令y=0得：-x+4=0，解得：x=4，

∴点B的坐标为（4，0）；

（2）①∵l垂直平分OB，
∴OE=BE=2．
∵将x=2代入y=-x+4得：y=-2+4=2．
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点P的坐标为（2，n），
∴PD=n-2．
∵S△APB=S△APD+S△BPD，
∴S△ABP=PDOE+PDBE=（n-2）×2+（n-2）×2=2n-4．

∵S△ABP=8，

∴2n-4=8，解得：n=6．∴点P的坐标为（2，6）．

②如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．

∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，

∴PC=PB，∠PCM+∠MCB=90°，

∵CM⊥l，BN⊥CM，

∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．

∴∠MPC=∠NCB．

∵PC=BC，

，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴ ，解得．
∴点C的坐标为（6，4）．
如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．
∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=CB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴ ，解得 ．
∴点C的坐标为（0，2）舍去．
综上所述点C的坐标为（6，4）．