Question

1．如图，在平面直角坐标系中，直线AB交x轴于点A（-4，0），交y轴于点B（0，2），P为线段OA上一个动点，Q为x轴上方的一个动点，且满足PQ=PA，OQ=OB，若点P的横坐标为m．
（1）若△OPQ为等边三角形，求m的值，并求线段AQ的长；
（2）若△OPQ为直角三角形，试求点P的坐标，并判断点Q是否在直线AB上．
（3）若△OPQ为钝角三角形，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由△OPQ为等边三角形，可求出OP=OQ=OB=2，进而求出QH，OH，得出点Q的坐标，进而用两点间的距离公式求出AQ即可．
（2）由△OPQ为直角三角形，则可判定∠PQO=90°，然后设AP=PQ=a，PO=4-a，由勾股定理可得方程：（4-a）²=a²+2²，继而求得答案，
（3）方法一：直角三角形是介于锐角三角形和钝角三角形的分界位置，可以直接根据（2）的结论得出结论，
方法二：可以利用勾股定理的逆定理的推广分三种情况讨论求出m的范围．

解答 解：（1）
过点Q作QH⊥OP，
∵A（-4，0），交y轴于点B（0，2），
∴OA=4，OB=2，
∵△OPQ为等边三角形，
∴∠QPH=60°，PQ=PO=OQ
∵PQ=PA，OQ=OB，
∴PQ=PO=OQ=2，
∴P（-2，0），
在Rt△OQH中，QH=$\sqrt{3}$，OH=1，
∴Q（-1，-$\sqrt{3}$），
∴AQ=$\sqrt{9+3}$=2$\sqrt{3}$，
（2）∵△OPQ为直角三角形，
①若∠POQ=90°，则点Q在y轴上，
∵OQ=OP，
∴点Q和点B重合，
∵OQ²+OP²=AP²
∴4+m²=（4+m）²，
∴m=-$\frac{3}{2}$，
∴P（-$\frac{3}{2}$，0），
点Q在直线AB上，
②若∠QPO=90°，
则PA=PQ＜OQ，PO＜OQ，
∵OQ=OB=2，PO＜2，
∴OA=OP+PA＜4，
∵OA=4，
∴矛盾，
∴∠QPO≠90°；
③若∠PQO=90°，
∵AP=PQ=-m，PO=4+m，
∴（4+m）²=m²+2²，
解得：m=-$\frac{3}{2}$，
∴PO=4+m=$\frac{5}{2}$，
∴点P的坐标为：（-$\frac{5}{2}$，0），
过点Q作QH⊥OP于点H，
∴QH=$\frac{PQ×OQ}{OP}$=$\frac{6}{5}$，
∴OH=$\sqrt{O{Q}^{2}-Q{H}^{2}}$=$\frac{8}{5}$，
∴点Q的坐标为：（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
∵当x=-$\frac{8}{5}$时，y=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{8}{5}$）+2=$\frac{6}{5}$，
∴点Q在直线AB上．
（3）方法一：由（2）的结论直接得出△OPQ为钝角三角形，m的取值范围为-$\frac{3}{2}$＜m＜0或-4≤m＜-$\frac{5}{2}$．
方法二：∵OP=-m，AP=PQ=4+m，
∵OQ=OB=2，
∴PQ²=m²，PO²=（4+m）²，OQ²=4，
∵△OPQ为钝角三角形，
①当∠PQO为钝角时，则PQ²+OQ²＜OP²，
∴m²+4＜（4+m）²，
∴m＞-$\frac{3}{2}$
∵点P在线段OA上，
∴m＜0，
∴-$\frac{3}{2}$＜m＜0，
②当∠OPQ为钝角时，则PQ²+OP²＜OQ²，
∴m²+（4+m）²＜4，
此方程无解，
∴此种情况不存在，
③当POQ是钝角时，则OP²+OQ²＜PQ²，
∴（4+m）²+4＜m²，
∴m＜-$\frac{5}{2}$，
而点P在线段OA上，
∴-4≤m＜0，
∴-4≤m＜-$\frac{5}{2}$，
即：△OPQ为钝角三角形，m的取值范围为-$\frac{3}{2}$＜m＜0或-4≤m＜-$\frac{5}{2}$．

点评 此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解本题的关键是求出△POQ是直角三角形时的m的值，难点是判断出△POQ是钝角三角形时的m的范围．