如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),直线l是抛物线的对称轴.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)若过点A(﹣1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,求此直线的解析式.
(3)点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线AB和x轴都相切,求点P的坐标.
(1) y=x2-4x+3;(2) y=x+
或y=?
x?
;(3) (2,1.5),(2,-1.5),(2,-6),(2,6).
解析试题分析:(1)根据函数图象过x轴上两点M(1,0)和N(3,0),设出函数两点式,将D(0,3)代入解析式,求出a的值,即可求出函数解析式;
(2)根据过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,再由AC=3,BC=4,求出B点坐标,利用待定系数法即可求出一次函数解析式;
(3)设⊙P与AB相切于点Q,与x轴相切于点C;证出△ABC∽△PBQ,得到,求出PC的长,即可求出P点坐标.
试题解析:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,且与y轴交于D(0,3),
∴假设二次函数解析式为:y=a(x-1)(x-3),
将D(0,3),代入y=a(x-1)(x-3),
得:3=3a,∴a=1,
∴抛物线的解析式为:y=a(x-1)(x-3)=x2-4x+3;
(2)∵过点A(-1,0)的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6,
∴AC×BC=6,
∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过M(1,0)和N(3,0)两点,
∴二次函数对称轴为x=2,
∴AC=3,
∴BC=4,
∴B点坐标为:(2,4)或(2,-4),
一次函数解析式为;y=kx+b,当点B为(2,4)时,
∴ ,解得:
,
∴y=x+
;
当点B为(2,-4)时,,解得
,
∴y=?x?
,
∴直线AB的解析式为:y=x+
或y=?
x?
;
(3)∵当点P在抛物线的对称轴上,⊙P与直线AB和x轴都相切,
设⊙P与AB相切于点Q,与x轴相切于点C;
∴PQ⊥AB,AQ=AC,PQ=PC,
∵AC=1+2=3,BC=4,
∴AB=5,AQ=3,
∴BQ=2,
∵∠QBP=∠ABC,
∠BQP=∠ACB,
∴△ABC∽△PBQ,
∴,
∴ ,
∴PC=1.5,
P点坐标为:(2,1.5),
同理可得(2,-1.5),(2,-6),(2,6).
考点: 二次函数综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
平面直角坐标系中,抛物线交
轴于A、B两点(点A在点B左侧),与
轴交于点C,点A、C的坐标分别为(-3,0),(0,3),对称轴直线
交
轴于点E,点D为顶点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是直线AC下方的抛物线上一点,且,,求点P的坐标;
(3)点M是第一象限内抛物线上一点,且∠MAC=∠ADE,求点M的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系xOy中,边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B、C两点.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)结合函数的图象探索:当y>0时x的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图1,已知直线y=x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,抛物线y=-x2+bx+c经过A、B两点,与x轴交于另一个点C,对称轴与直线AB交于点E,抛物线顶点为D.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在第三象限内,F为抛物线上一点,以A、E、F为顶点的三角形面积为3,求点F的坐标;
(3)点P从点D出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t秒,当t为何值时,以P、B、C为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t值.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.根据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能销售500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x之间的函数关系式;
(3)商店想在月销售成本不超过10 000元的情况下,使得月销售利润达到5 000元,销售单价应定为多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
某商品的进价为每件50元,售价为每件60元,每个月可卖出200件;如果每件商品的售价每上涨1元.则每个月少卖10件。设每件商品的售价上涨x元(x为正整数),每个月的销售利润为y元.
(1) 求y与x的函数关系式
(2) 每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
(3) 若每个月的利润不低于2160元,售价应在什么范围?
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,已知抛物线y=x2-1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG
轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与
PCA相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与x轴交于A、B两点,A点在原点的左则,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,―3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点。
⑴求这个二次函数的表达式;
⑵连结PO、PC,在同一平面内把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由;
⑶当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大,并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.
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