Question

12．已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l₁与经过点A的直线l₂相交于点B，点B坐标为（18，6）．
（1）求直线l₁，l₂的表达式；
（2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l₂于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．
①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示）
②若矩形CDEF的面积为40，请直接写出此时点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l₁的表达式为y=k₁x，它过（18，6）可求出k₁的值，进而得出其解析式；设直线l₂的表达式为y=k₂x+b，由于它过点A（0，24），B（18，6），故把此两点坐标代入即可求出k₂，b的值，进而得出其解析式；
（2）①因为点C在直线l₁上，且点C的纵坐标为a，故把y=a代入直线l₁的表达式即可得出x的值，进而得出C点坐标，由于CD∥y轴，所以点D的横坐标为3a，再根据点D在直线l₂上即可得出点D的纵坐标，进而得出结论；
②先根据CD两点的坐标用a表示出CF及CD的值，由矩形的面积为40即可求出a的值，进而得出C点坐标．

解答 解：（1）设直线l₁的表达式为y=k₁x，
把（18，6）代入得：18k₁=6，即k₁=$\frac{1}{3}$，
∴y=$\frac{1}{3}$x，
设直线l₂的表达式为y=k₂x+b，它过点A（0，24），B（18，6），
将A与B坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{b=24}\\{18{k}_{2}+b=6}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-1}\\{b=24}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的表达式为：y=-x+24；

（2）①∵点C在直线l₁上，且点C的纵坐标为a，
∴a=$\frac{1}{3}$x，即x=3a，
∴点C的坐标为（3a，a），
∵CD∥y轴，
∴点D的横坐标为3a，
∵点D在直线l₂上，
∴y=-3a+24，
∴D（3a，-3a+24），
②∵C（3a，a），D（3a，-3a+24），
∴CF=3a，CD=-3a+24-a=-4a+24，
∵矩形CDEF的面积为40，
∴S_矩形CDEF=CF•CD=3a×（-4a+24）=40，
解得：a=$\frac{9+\sqrt{51}}{3}$，
当a=$\frac{9+\sqrt{51}}{3}$时，3a=9+$\sqrt{51}$，
则C（$\frac{9+\sqrt{51}}{3}$，9+$\sqrt{51}$）．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，矩形的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．