Question

【题目】（本题10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线，交AB于点E，交CA的延长线于点F．

（1）求证：FE⊥AB；

（2）当EF=6，=时，求DE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）连接OD .根据EF与⊙O相切.可得OD⊥EF，所以要证明FE⊥AB，只要证明OD∥AB即可；

（2）首先利用sin∠CFD=，在Rt△AEF中，求出AF的长，然后利用△ODF∽△AEF.求出圆的半径，再根据EB=AB-AE计算即可.

试题解析：（1）证明：连接OD . （如图）

∵ OC=OD，

∴ ∠OCD="∠ODC."

∵ AB=AC，

∴∠ACB=∠B.

∴ ∠ODC=∠B.

∴ OD∥AB. 1分

∴ ∠ODF =∠AEF.

∵ EF与⊙O相切.

∴ OD⊥EF，∴ ∠ODF =90°.

∴∠AEF ="∠ODF" =90°.

∴ EF⊥AB. 2分

（2）解：由（1）知：OD∥AB，OD⊥EF .

在Rt△AEF中，sin∠CFD ==，AE=6.

∴ AF=10. 3分

∵ OD∥AB，

∴ △ODF∽△AEF.

∴.

∴.

解得r=. 4分

∴ AB=" AC=2r" =.

∴ EB=AB－AE=－6=. 5分