Question

4．如图，O是等边△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，则∠AOB=150°．

Answer 1

分析 连结OO′，如图，根据旋转的性质得BO′=BO=4，∠O′BO=60°，可判断△BOO′为等边三角形，由△ABC为等边三角形得到BA=BC，∠ABC=60°，则∠O′BA=∠OBC，然后根据“SAS”可证明△O′BA≌△OBC，则O′A=OC=5在△AOO′中，由于OA′=5，OO′=4，OA=3，则OA²+OO′²=O′A²，于是可根据勾股定理的逆定理可得∠AOO′=90°，加上△BOO′为等边三角形得∠BOO′=60°，所以∠AOB=60°+90°=150°．

解答 解：连结OO′，如图，
∵线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，
∴BO′=BO=4，∠O′BO=60°，
∴△BOO′为等边三角形，
∴∠BOO′=60°，
∵△ABC为等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∴∠O′BO-∠ABO=∠ABC-∠ABO，即∠O′BA=∠OBC，
在△O′BA和△OBC中
$\left\{\begin{array}{l}{O′B=OB}\\{∠O′BA=∠OBC}\\{BA=BC}\end{array}\right.$，
∴△O′BA≌△OBC（SAS），
∴O′A=OC=5，
在△AOO′中，∵OA′=5，OO′=4，OA=3，
∴OA²+OO′²=O′A²，
∴∠AOO′=90°，
∴∠AOB=60°+90°=150°，
故答案为：150°．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质和勾股定理的逆定理．