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(2008•漳州)如图,二次函数y=ax2-5ax+4a(a≠0)的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,点C关于抛物线对称轴的对称点为D,连接BD.
(1)求A、B两点的坐标;
(2)若AD⊥BC,垂足为P,求二次函数的表达式;
(3)在(2)的条件下,若直线x=m把△ABD的面积分为1:2的两部分,求m的值.

【答案】分析:(1)A、B两点为x轴上的点,故其总坐标为0,令y=0解方程即可;
(2)根据图形特点,可以利用相似三角形的性质和直角三角形的性质求出C点坐标,再代入解析式取出a的值;
(3)根据题意可确定,直线x=m与x轴交点在线段AB上,S△AMN=S△ABD和S△AMN=S△ABD两种情况利用三角形面积公式解答.
解答:解:(1)∵抛物线与x轴交于A、B两点
∴ax2-5ax+4a=0(1分)
∵a≠0
∴x2-5x+4=0,
解得x1=1,x2=4(3分)
∴A(1,0),B(4,0).(4分)

(2)(方法一)连接AC、CD,由对称性知:四边形ABDC是等腰梯形,
∴∠CAB=∠DBA
在△ABC与△BAD中,
AC=BD,∠CAB=∠DBA,AB=BA
∴△ABC≌△BAD
∴∠1=∠2(6分)
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C(0,4)(8分)
把C(0,4)的坐标代入y=ax2-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x2-5x+4.(10分)
(方法二)∵A、C两点关于抛物线对称轴的对称点分别为B、D,
∴AD、BC的交点P在抛物线对称轴上,
∴PA=PB(6分)
∵AD⊥BC
∴∠1=∠2=45°
∵∠BOC=90°
∴∠OCB=∠1=45°
∴OC=OB=4
∴C(0,4)(8分)
把C(0,4)的坐标代入y=ax2-5ax+4a
得4a=4
∴a=1
∴二次函数的表达式为y=x2-5x+4.(10分)

(3)(方法一)S△ABD=×3×4=6,
设直线x=m与AD、AB分别交于M、N,则AN=m-1,
由(2)得∠1=45°,∠2=90°,
∴MN=AN=m-1,
∴S△AMN=(m-1)2(11分)
当S△AMN=S△ABD时,(m-1)2=×6;
解得m=3(负值舍去)(12分)
当S△AMN=S△ABD时,(m-1)2=×6;
解得m=+1(负值舍去).(13分)
过B作BE⊥AB交AD于E,则S△ABE=4.5,
S△ABD=4,
∵4.5>4,
∴点N在线段AB上
∴m<4,
综上所述,m的值为3或+1.(14分)
(方法二)S△ABD=×3×4=6,
设直线x=m与AD、AB分别交于M、N,
由(2)得∠1=45°,∠2=90°,
∴MN=AN,
∴S△AMN=AN•MN=AN2(11分)
当S△AMN=S△ABD时,AN2=2,解得AN=2.
∴ON=3即m=3.(12分)
当S△AMN=S△ABD时,AN2=4,
解得AN=
∴ON=+1即m=+1,(13分)
过B作BE⊥AB交AD于E,则S△ABE=4.5,
S△ABD=4,
∵4.5>4
∴点N在线段AB上
∴m<4
综上所述,m的值为3或+1.(14分)
点评:此题将二次函数与三角形与等腰梯形相结合,充分体现了数形结合思想解决数学问题时的作用,解答此题的关键是充分利用解析式每一项都含a的特点及特殊三角形和等腰梯形的性质.
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