已知直线y=2x+1-m与抛物线y=x2-4x+k的一个交点坐标为(1,-1).
(1)分别求出直线与抛物线的函数解析式;
(2)如果在点(1,0)、(4,0)之间有一个动点F(a,0),过点F作y轴的平行线,交直线于点C,交抛物线于点D,求CD的长(用含a的代数式表示);
(3)设抛物线的对称轴与直线交于点B,与x轴交于点A,四边形ABCD能否构成平行四边形?如果能,请求出这个平行四边形的面积;如果不能,请简要说明理由.
分析:(1)把交点坐标(1,-1)分别代入直线和抛物线的解析式中,求的m、k;
(2)a的取值范围是(1,4),把a分别放进解析式,得出y和y′,根据取值范围可以确定y和y'的大小.两者相减就是CD的长;
(3)画出抛物线坐标图,求出B和A的坐标就可以判断出四边形是否平行四边形.
解答:解:(1)∵直线y=2x+1-m与抛物线y=x
2-4x+k的一个交点坐标为(1,-1).
∴将点(1,-1)分别代入解析式得:
-1=2+1-m,
∴m=4,
-1=1-4+k,
∴k=2,
∴直线与抛物线的函数解析式分别为:y=2x-3,y=x
2-4x+2;
(2)∵在点(1,0)、(4,0)之间有一个动点F(a,0),过点F作y轴的平行线,交直线于点C,交抛物线于点D,
∴C(a,2a-3),D(a,a
2-4a+2),
CD=2a-3-(a
2-4a+2)=-a
2+6a-5;
(3)存在B(2,9),A(2,0),
∵只要存在BC∥AD,AB∥CD可得,
=(a-2,2a-12),
=(a-2,4a-2-a
2),
只要2a-12=4a-2-a
2即可,此时BC∥AD
∴a=±
+1,∵a>0,
∴a=
+1,
∴B(2,9),A(2,0),
∴点C横坐标为
+1,
高就是A点横坐标与C点横坐标的差,即高为
-1,
代入即得平行四边形面积为:9×
(-1)=9
-9.
点评:本题考查了二次函数的综合运用,其中涉及到的知识点有求抛物线的解析式,在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果.二次函数图象与直线的结合形成的四边形形状的判定.