Question

如图，AB是⊙O的直径，CA是⊙O的切线，在⊙O上取点D，连接CD，使得AC=DC，延长CD交直线AB于点E．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）作AF⊥CD于点F，交⊙O于点G，若⊙O的半径是6cm，ED=8cm，求GF的长．

Answer 1

（1）证明：连结OD、OC，如图，
∵CA是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，即∠OAC=90°，
在△OAC和△ODC中
，
∴△OAC≌△ODC，
∴∠ODC=∠OAC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连结BG，如图，
在Rt△OBD中，DE=8cm，OD=6cm，
∴OB==10，
∵AF⊥CD，
∴OD∥AF，
∴△EOD∽△EAF，

∴=，即=，
∴AF=，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AGB=90°，
∴BG∥EF，
∴=，
而AE=BO+OA=10+6=16，
∴BE=AE-AB=16-12=4，
∴=，
∴GF=（cm）．
分析：（1）连结OD、OC，根据切线的性质得OA⊥AC，即∠OAC=90°，然后利用“SSS”可判断△OAC≌△ODC，则∠ODC=∠OAC=90°，于是可根据切线的判断方法得到结论；
（2）连结BG，在Rt△OBD中，利用勾股定理计算出OB=10，由AF⊥CD，OD⊥CD得到OD∥AF，则△EOD∽△EAF，然后利用相似比可计算出AF=，
由AB为⊙O的直径，得∠AGB=90°，所以BG∥EF，然后根据平行线分线段成比例定理得到=，再把BE、AE、AF的长代入计算即可．
点评：本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论以及三角形相似的判定与性质．