Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°，∠ACB=50°．请解答下列问题：
（1）∠CAD的度数；
（2）若AD=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：扇形面积的计算,圆周角定理

专题：

分析：（1）根据圆周角定理求出∠ADC、∠ACD的度数，相减即可；
（2）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，求出∠AOC的度数，求出高OQ和弦AC，求出扇形和三角形的面积，相减即可．

解答：解：（1）∵弧AC=弧AC，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠CAD=90°-∠ADC=30°，
答：∠CAD的度数是30°．

（2）连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，
∵∠CAD=30°，AD=6，
∴OQ=

1

2

OA=

3

2

，
由勾股定理得：AQ=

3 3

2

，
由垂径定理得：AC=2AQ=3

3

，
∵∠AOC=2∠ABC=120°，
∴阴影部分的面积是S_扇形OAC-S_△AOC=

120×π×32

360

-

1

2

×3

3

×

3

2

=3π-

9 3

4

．

点评：本题考查了圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积等知识点的应用，此题是一道综合性比较强的题目，题目比较典型，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力．