Question

【题目】已知：等边△ABC中，E在BC的延长线上，CF平分∠ACE，P为射线BC上一点，Q为CF上一点，连接AP、PQ．

（Ⅰ）若BP=QC，求证：AP=PQ；

（Ⅱ）若AP=PQ，求∠APQ的度数．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）60°.

【解析】

（1）连接AQ，根据等边三角形的性质，得出AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB=∠ACF= 60°，根据SAS求得△ABP≌△ACQ，得出AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，可得出∠PAQ= 60°，则△PAQ是等边三角形，即可求得AP=PQ；
（2）在CF上截取CQ′=BP，根据等边三角形的性质，得出AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，根据SAS求得△ABP≌△ACQ′，得出△PAQ′是等边三角形，从而证得Q′和Q是同一点，即可求得∠APQ=60°．

证明：（1）连接AQ，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠BAC=∠ACB = 60°，
∴∠ACE=120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACQ=60°=∠B，
在△ABP与△ACQ中，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），
∴AP=AQ，∠BAP=∠CAQ，
∴∠CAQ+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ=60°，
∴△PAQ是等边三角形，
∴AP=PQ；

（2）解：在CF上截取CQ′=BP，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACE=120°，
∵CF平分∠ACE，
∴∠ACQ=60°=∠B，
在△ABP与△ACQ′中，

∴△ABP≌△ACQ′（SAS），
∴AP=AQ′，∠BAP=∠CAQ′，
∴∠CAQ′+∠PAC=∠BAP+∠PAC=60°
即∠PAQ′=60°，
∴△PAQ′是等边三角形，
∴AP=PQ′，∠APQ′=60°
∵AP=PQ，
∴PQ=PQ′，
∴Q′和Q是同一点，
∴∠APQ=60°．