Question

如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

【小题1】求抛物线的解析式
【小题2】若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标
【小题3】P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【小题1】y=x²+2x
【小题2】D₁（1，3），D₂（﹣3，3），（﹣1，﹣1）； 
【小题3】存在，（，）或（3，15）

解析解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），且过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），可得
, 解得.
∴抛物线的解析式为y=x²+2x；
（2）①当AE为边时，
∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴DE=AO=2，则D在x轴方不可能，
∴D在x轴上方且DE=2，
∴D₁（1，3），D₂（﹣3，3）；
②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分，
因为点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1，
由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）
故符合条件的点D有三个，分别是D₁（1，3），D₂（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）；
（3）存在，
∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得：BO²=18，CO²=2，BC²=20，
∴BO²+CO²=BC²．∴△BOC是直角三角形．

假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x²+2x，
①若△AMP∽△BOC，则，即 x+2=3（x²+2x）
得：x₁=，x₂=﹣2（舍去）．
当x=时，y=，即P（，）．
②若△PMA∽△BOC，则，即：x²+2x=3（x+2）
得：x₁=3，x₂=﹣2（舍去）
当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）．