Question

（2005•大连）如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x=t，使它与直线y=x和直线y=-x+2分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形？若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因．

Answer 1

【答案】分析：将x=t代入解析式，得到y与t的关系式，然后根据直线在y轴的左侧和在y轴的右侧两种情况并以不同边为斜边构造等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出t的值，进而求出各点坐标．
解答：解：存在．
方法一：当x=t时，y=x=t；
当x=t时，y=-x+2=-t+2．
∴E点坐标为（t，-t+2），D点坐标为（t，t）．（2分）
∵E在D的上方，
∴DE=-t+2-t=-t+2，且t＜．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
若t＞0，PE=DE时，-t+2=t，
∴t=，-t+2=，
∴P点坐标为（0，）．（5分）
若t＞0，PD=DE时，-t+2=t，
∴t=，
∴P点坐标为（0，）．（6分）
若t＞0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴-t+2=2t（7分）
∴t=，DE的中点坐标为（t，t+1），
∴P点坐标为（0，）．（8分）
若t＜0，PE=DE和PD=DE时，由已知得DE=-t，-t+2=-t，t=4＞0（不符合题意，舍去），
此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，由已知得DE=-2t，-t+2=-2t，（11分）
∴t=-4，t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上所述：当t=时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，）；
当t=时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；
当t=-4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．

方法二：设直线y=-x+2交y轴于点A，交直线y=x于点B，过B点作BM垂直于y轴，垂足为M，交DE于点N．
∵x=t平行于y轴，
∴MN=|t|．（1分）
∵，
解得x=，y=，
∴B点坐标为（，），
∴BM=，
当x=0时，y=-x+2=2，
∴A点坐标为（0，2），
∴OA=2．（3分）
∵△PDE为等腰直角三角形，
∴PE=DE或PD=DE或PE=PD．（4分）
如图，若t＞0，PE=DE和PD=DE时，
∴PE=t，PD=t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴=．（5分）
∴=，
∴t=
当t=时，y=-x+2=，y=x=
∴P点坐标为（0，）或（0，）．（6分）
若t＞0，PD=PE时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=2t．
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴=（7分）
∴=，
∴MN=t=，DE中点的纵坐标为t+1=，
∴P点坐标为（0，）（8分）
如图，
若t＜0，PE=DE或PD=DE时，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴=（9分）
DE=-4（不符合题意，舍去），此时直线x=t不存在．（10分）
若t＜0，PE=PD时，即DE为斜边，
∴DE=2MN=-2t，
∵DE∥OA，
∴△BDE∽△BOA，
∴=（11分）
∴，
∴MN=4，
∴t=-4，t+1=0，
∴P点坐标为（0，0）．（12分）
综上述所述：当t=时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，）；
当t=时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t=-4时，
△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）．
点评：此题难度很大，涉及变量较多，解答时需要将x转化为t，然后根据等腰三角形的性质进行推理，由于情况较多，容易造成漏解，故解答时要仔细．