Question

如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交

BC

于D．
（1）请写出四个正确结论；
①

 

；
②

 

；
③

 

；
④

 

．
（2）若BC=8，ED=2，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）根据垂径定理及其推论可得：BE=CE，

BD

=

CD

；由AB是⊙O的直径，可得：AC⊥BC，∠ACB=90°；由OD⊥BC，可得：AC∥OD，∠BOD=∠A；在Rt△OEB中，OE²+BE²=OB²；S_△ABC=

1

2

AC•BC=BC•OE，上述任写四个即可；
（2）由垂径定理可知：BE=

1

2

BC，又OE=OD-DE，故在Rt△OEB中，运用勾股定理可将⊙O的半径求出．

解答：解：（1）①BE=CE
②

BD

=

CD

③∠BED=90°
④∠BOD=∠A
⑤AC∥OD
⑥AC⊥BC
⑦OE²+BE²=OB²
⑧S_△ABC=BC•OE
⑨∠ACB=90°等，任写4个即可


（2）解：∵OD⊥BC，
∴BE=CE=

1

2

BC=4
设⊙O的半径为r，则OE=OD-DE=r-2
在Rt△OEB中，OE²+BE²=OB²即：（r-2）²+4²=r²
解得：r=5
∴⊙O的半径为5．

点评：本题考查垂径定理的应用．解此类问题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．