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    如图，已知抛物线y=ax2+bx-2与x轴的两个交点是A（4，0），B（1，0），与y轴的交点是C．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D，使得△DCA的面积最大？若存在，求出点D的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由；
    （3）设抛物线的顶点是F，对称轴与AC的交点是N，P是在AC上方的该抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，交AC于M．若P点的横坐标是m．问：
    ①m取何值时，过点P、M、N、F的平面图形不是梯形？
    ②四边形PMNF是否有可能是等腰梯形？若有可能，请求出此时m的值；若不可能，请说明理由．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）由抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点，利用待定系数法即可求得该抛物线的解析式；
    （2）设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-
    1
    2
    t2+
    5
    2
    t-2，过D作y轴的平行线交AC于E．即可求得DE的长，继而可求得S△DCA=-（t-2）2+4，然后由二次函数的性质，即可求得点D的坐标及△DCA面积的最大值；
    （3）首先设P（m，-
    1
    2
     m2+
    5
    2
    m-2），由于PM⊥x轴，FN是对称轴，可得PM∥FN，当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形，从而求出m的值为
    3
    2
    ，根据题意可知求得P点的关于二次函数的对称轴的对称点P′，正好与A点重合，所以只能构成等腰三角形，构不成等腰梯形．
    解答：解：（1）∵该抛物线过点C（0，-2），
    ∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2．
    将A（4，0），B（1，0）代入y=ax2+bx-2，
    得
    16a+4b-2=0
    a+b=0
    ，
    解得：
    a=-
    1
    2
    b=
    5
    2
    ．
    ∴该抛物线的解析式为y=-
    1
    2
    x2+
    5
    2
    x-2．

    （2）存在．
    如图1，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为-
    1
    2
    t2+
    5
    2
    t-2．
    过D作y轴的平行线交AC于E．
    设直线AC的解析式为：y=mx+n，
    则
    n=-2
    4m+n=0

    解得：
    m=
    1
    2
    n=-2
    ，
    由题意可求得直线AC的解析式为y=
    1
    2
    x-2．
    ∴E点的坐标为（t，
    1
    2
    t-2）．
    ∴DE=-
    1
    2
    t2+
    5
    2
    t-2-（
    1
    2
    t-2）=-
    1
    2
     t2+2t．
    ∴S△DCA=S△CDE+S△ADE=
    1
    2
    ×DE×OA=
    1
    2
    ×（-
    1
    2
    t2+2t）×4=-t2+4t=-（t-2）2+4．
    ∴当t=2时，S最大=4．
    ∴当D（2，1），△DAC面积的最大值为4．

    （3）存在．∵y=-
    1
    2
    x2+
    5
    2
    x-2=-
    1
    2
    （x-
    5
    2
    ）2+
    9
    8
    ．
    ∴F（
    5
    2
    ，
    9
    8
    ）
    ①Ⅰ当P和F重合时，P、M、N、F成一条直线，不能构成梯形，此时m=
    5
    2
    ．
    Ⅱ如图2，设P（m，-
    1
    2
    m2+
    5
    2
    m-2）（0＜m＜
    5
    2
    ）．作PM⊥x轴，FN是对称轴，
    ∴PM∥FN
    ∴当PM=FN时P、M、N、F的平面图是平行四边形，不是梯形．
    由于N（
    5
    2
    ，-
    3
    4
    ），M（m，
    1
    2
    m-2）
    ∴PM（-
    1
    2
    m2+
    5
    2
    m-2）-（
    1
    2
    m-2）=-
    1
    2
    m2+2m，
    FN=
    9
    8
    -（-
    3
    4
    ）=
    15
    8

    当PM=FN时
    即：-
    1
    2
    m2+2m=
    15
    8
    ，解得m=
    3
    2
    ，m=
    5
    2
    （舍去）
    ∴当m=
    3
    2
    ，m=
    5
    2
    时过P、M、N、F的平面图形不是梯形．


    （3）四边形PMNF可能是等腰梯形．
    过抛物线上的点P′垂直于x轴的直线交AC于M′，
    由于m=
    3
    2
    时，四边形PMNF是平行四边形，所以PF=MN，
    根据抛物线的对称性，当m=
    7
    2
    时，有P′F=M′N，此时梯形P′FNM′是等腰梯形．
    点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质以及二次函数的最值问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用
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    （2）-2＜1-
    1
    5
    x    ＜
    3
    5
    ；
    （3）
    5x-1＜3(x+1)
    2x-1
    3
    -
    5x+1
    2
    ≤1
    ．

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    ①求证：
    BF
    CF
    =
    DN
    CN
    ；
    ②若AB=5，BC=6，AC=4，当MN=FN时，请直接写出t的值．

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    		8
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    		a
    +
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    ．

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