如图①已知抛物线y=ax2-3ax-4a的图象与x轴交于A.B两点.与y的正半轴交于点C.连结BC.二次函数的对称轴与x轴的交点E．(1)抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为.点A的坐标为,(2)若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切.试求出抛物线的解析式,的条件下.如图②Q(m.0)是x的正半轴上一点.过点Q作y轴的平行线.与直线BC交于点M.与抛物线交于点N.连� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图①已知抛物线y=ax²-3ax-4a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴的交点E．
（1）抛物线的对称轴与x轴的交点E坐标为（$\frac{3}{2}$，0），点A的坐标为（-1，0）；
（2）若以E为圆心的圆与y轴和直线BC都相切，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，如图②Q（m，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，连结CN，将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M′．在图②中探究：是否存在点Q，使得M′恰好落在y轴上？若存在，请求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据对称轴公式可以求出点E坐标，设y=0，解方程即可求出点A坐标．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，由tan∠OBC=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{OC}{OB}$，列出方程即可解决．
（3）分两种情形①当N在直线BC上方，②当N在直线BC下方，分别列出方程即可解决．

解答解：（1）∵对称轴x=-$\frac{-3a}{2a}$=$\frac{3}{2}$，
∴点E坐标（$\frac{3}{2}$，0），
令y=0，则有ax²-3ax-4a=0，
∴x=-1或4，
∴点A坐标（-1，0）．
故答案分别为（$\frac{3}{2}$，0），（-1，0）．
（2）如图①中，设⊙E与直线BC相切于点D，连接DE，则DE⊥BC，
∵DE=OE=$\frac{3}{2}$，EB=$\frac{5}{2}$，OC=-4a，
∴DB=$\sqrt{E{B}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2，
∵tan∠OBC=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{OC}{OB}$，
∴$\frac{1.5}{2}$=$\frac{-4a}{3}$，
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3．
（3）如图②中，由题意∠M′CN=∠NCB，
∵MN∥OM′，
∴∠M′CN=∠CNM，
∴MN=CM，
∵直线BC解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3，
∴M（m，-$\frac{3}{4}$m+3），N（m，-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3），作MF⊥OC于F，
∵sin∠BCO=$\frac{FM}{MC}$=$\frac{BO}{BC}$，
∴$\frac{m}{CM}$=$\frac{4}{5}$，
∴CM=$\frac{5}{4}$m，
①当N在直线BC上方时，-$\frac{3}{4}$x²+$\frac{9}{4}$x+3-（-$\frac{3}{4}$x+3）=$\frac{5}{4}$m，
解得：m=$\frac{7}{3}$或0（舍弃），
∴Q₁（$\frac{7}{3}$，0）．
②当N在直线BC下方时，（-$\frac{3}{4}$m+3）-（-$\frac{3}{4}$m²+$\frac{9}{4}$m+3）=$\frac{5}{4}$m，
解得m=$\frac{17}{3}$或0（舍弃），
∴Q₂（$\frac{17}{3}$，0），
综上所述：点Q坐标为（$\frac{7}{3}$，0）或（$\frac{17}{3}$，0）．

点评本题考查二次函数综合题、圆、翻折变换、三角函数、一次函数等知识，解题的关键是通过三角函数建立方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．

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