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5.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠ABC=∠ADC,DE垂直于对角线AC,垂足是E,连接BE.
(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;
(2)若点E是AC的中点,判断BE与AC的位置关系,并说明理由;
(3)若△ABE是等边三角形,AD=$\sqrt{14}$,求对角线AC的长.

分析 (1)根据平行四边形的性质得出∠ABC+∠DCB=180°,推出∠ADC+∠BCD=180°,根据平行线的判定得出AD∥BC,根据平行四边形的判定推出即可;
(2)求出AD=DC,根据菱形的判定得出四边形ABCD是菱形,根据等腰三角形的性质得出即可;
(3)根据等边三角形的性质得出AB=AE,∠BAC=60°,求出∠DCE=∠BAE=60°,求出CD=2EC,设CE=x,则AB=DC=AE=2x,根据勾股定理得出方程,求出x,即可得出答案.

解答 (1)证明:∵AB∥CD,
∴∠ABC+∠DCB=180°,
∵∠ABC=∠ADC,
∴∠ADC+∠BCD=180°,
∴AD∥BC,
∵AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形;

(2)解:BE⊥AC,
理由是:∵DE⊥AC,E为AC的中点,
∴AD=DC,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC,
∵E为AC的中点,
∴BE⊥AC;

(3)解:∵△ABE是等边三角形,
∴AB=AE,∠BAC=60°,
∵AB∥DC,
∴∠DCE=∠BAE=60°,
∵∠DEC=90°,
∴∠CDE=30°,
∴CD=2EC,
设CE=x,则AB=DC=AE=2x,
由勾股定理得:DE2=AD2-AE2=DC2-CE2
即($\sqrt{14}$)2-(2x)2=(2x)2-x2
解得:x=$\sqrt{2}$(负数舍去),
即CE=$\sqrt{2}$,AE=2$\sqrt{2}$,
∴AC=3$\sqrt{2}$.

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定,菱形的判定和性质,平行线的性质和判定,线段垂直平分线性质,含30°角的直角三角形性质的应用,能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键.

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