Question

17．如图，抛物线y=-x²+3x+4交x轴于A、B两点（点A在B左边），交y轴于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线BC的函数关系式；
（3）点P在抛物线的对称轴上，连接PB，PC，若△PBC的面积为4，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）令y=0得-x²+3x+4=0解得方程的解即为A、B两点坐标；
（2）令x=0，解得抛物线y=-x²+3x+4与y轴交点C的坐标，设直线BC的函数关系式y=kx+b，解得k和b的值即可得出直线BC的函数关系式；
（3）求得抛物线y=-x²+3x+4的对称轴，设对称轴与直线BC的交点记为D，求得D点坐标，设点P的坐标，表示出PD，再根据三角形的面积公式得出点P的坐标．

解答 解：（1）由-x²+3x+4=0解得x=-1或x=4，
所以A、B两点坐标为（-1，0）和（4，0）；            
（2）抛物线y=-x²+3x+4与y轴交点C坐标为（0，4），由（1）得，B（4，0），
设直线BC的函数关系式y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线BC的函数关系式为y=-x+4；    
（3）抛物线y=-x²+3x+4的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
对称轴与直线BC的交点记为D，则D点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）．
∵点P在抛物线的对称轴上，
∴设点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，m），
∴PD=|m-$\frac{5}{2}$|，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$OB•PD=4．
∴$\frac{1}{2}$×4×|m-$\frac{5}{2}$|=4，
∴m=$\frac{9}{2}$或m=$\frac{1}{2}$．
∴点P的坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的性质，是一道综合性的题目，难度不大，是中考的常见题型．