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    11．【问题背景】
    如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．
    小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，从而得出结论：AC+BC=$\sqrt{2}$CD
    【简单应用】
    （1）在图1中，若AC=$\sqrt{2}$，BC=2$\sqrt{2}$，则CD=3．
    （2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，若AB=13，BC=12，求CD的长．
    【拓展规律】
    （3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，BC=n（m＜n），求CD的长（用含m，n的代数式表示）

    分析 （1）代入结论：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，直接计算即可；
    （2）如图3，作辅助线，根据直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=∠ACB=90°，由弧相等可知所对的弦相等，得到满足图1的条件，所以AC+BC=$\sqrt{2}$CD，代入可得CD的长；
    （3）介绍两种解法：
    解法一：作辅助线，构建如图3所示的图形，由AC+BC=$\sqrt{2}$D1C，得D1C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，在直角△CDD1，利用勾股定理可得CD的长；
    解法二：如图5，根据小吴同学的思路作辅助线，构建全等三角形：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，得△BCD≌△AED，证明△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，从而得出结论．

    解答 解：（1）由题意知：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
    ∴$\sqrt{2}$+2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$CD，
    ∴CD=3；
    故答案为：3；
    （2）如图3，连接AC、BD、AD，
    ∵AB是⊙O的直径，
    ∴∠ADB=∠ACB=90°，
    ∵$\widehat{AD}$=$\widehat{BD}$，
    ∴AD=BD，
    ∵AB=13，BC=12，
    ∴由勾股定理得：AC=5，
    由图1得：AC+BC=$\sqrt{2}$CD，
    5+12=$\sqrt{2}$CD，
    ∴CD=$\frac{17\sqrt{2}}{2}$；
    （3）解法一：以AB为直径作⊙O，连接DO并延长交⊙O于点D1，
    连接D1A、D1B、D1C、CD，如图4，
    由（2）得：AC+BC=$\sqrt{2}$D1C，
    ∴D1C=$\frac{\sqrt{2}（m+n）}{2}$，
    ∵D1D是⊙O的直径，
    ∴∠D1CD=90°，
    ∵AC=m，BC=n，
    ∴由勾股定理可求得：AB2=m2+n2，
    ∴D1D2=AB2=m2+n2，
    ∵D1C2+DC2=D1D2，
    ∴CD2=m2+n2-$\frac{（m+n）^{2}}{2}$=$\frac{（m-n）^{2}}{2}$，
    ∵m＜n，
    ∴CD=$\frac{\sqrt{2}（n-m）}{2}$；
    解法二：如图5，∵∠ACB=∠DB=90°，
    ∴A、B、C、D在以AB为直径的圆上，
    ∴∠DAC=∠DBC，
    将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处，
    ∴△BCD≌△AED，
    ∴CD=ED，∠ADC=∠ADE，
    ∴∠ADC-∠ADC=∠ADE-∠ADC，
    即∠ADB=∠CDE=90°，
    ∴△CDE是等腰直角三角形，所以CE=$\sqrt{2}$CD，
    ∵AC=m，BC=n=AE，
    ∴CE=n-m，
    ∴CD=$\frac{\sqrt{2}（n-m）}{2}$．

    点评 本题是圆和四边形的综合题，考查了圆周角定理、弦和弧的关系、勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形的性质，运用了类比的思想，依次解决问题，是一道不错的圆和四边形的综合题．

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