Question

15．如图，AB=AC，AB为⊙O的直径，AC，BC分别交⊙O于E，D，连接ED，BE．
（1）求证：DE=BD；
（2）若AB=8，∠C=60°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰三角形的三线合一得到∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理证明；
（2）根据等边三角形的判定定理、正弦的定义计算即可．

解答 解：（1）证明：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{BD}$=$\widehat{DE}$，
∴BD=DE；
（2）∵AB=AC，∠C=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=4，
∴阴影部分的面积=$\frac{1}{2}$×4×4×sin60°=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是圆周角定理、等边三角形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握直径所对的圆周角是直角、锐角三角函数的定义是解题的关键．