Question

【题目】如图，已知抛物线y＝x2+x﹣4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）连接BC，P是线段BC上方抛物线上的一动点，过点P作PH⊥BC于点H，当PH长度最大时，在△APB内部有一点M，连接AM、BM、PM，求AM+BM+PM的最小值．

（2）若点D是OC的中点，将抛物线y＝x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位得到新抛物线y′，C′是抛物线y′上与C对应的点，抛物线y'的对称轴上有一动点N，在平面直角坐标系中是否存在一点S，使得C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点S的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）AM+BM+PM＝；（2）存在，点S的坐标为：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．

【解析】

（1）待定系数法求直线BC解析式，设点P横坐标为m，用含m的代数式表示PQ，再根据PH与PQ的关系得到PH最大时，m的值，将△PMB绕点B顺时针旋转120°得△P′M′B，连接MM′，过点P′作P′R⊥x轴于点R，线段AP′即为AM+BM+PM的最小值；

（2）C′、N、B、S为顶点的四边形是矩形可以根据C′B分别作为矩形对角线或边分类进行讨论：①当C′B为矩形对角线；②当C′B为矩形的边，C′B⊥C′N时；③当C′B为矩形的边，C′B⊥BN时．先求出点N坐标后再根据平移规律求S坐标．

（1）在抛物线y＝﹣x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝﹣4，

∴C(0，﹣4)．

令y＝0，得＝﹣x2+x﹣4＝0，解得：x1＝，x2＝4，

∴A(，0)，B(4，0)，

∴BC＝＝8．

如图1，

过点P作PQ⊥x轴于点E交BC于点Q，则PQ∥y轴，

∴∠PQH＝∠BCO，

∵PH⊥BC，

∴∠PHQ＝∠BOC＝90°，

∴△PQH∽△BCO，

∴＝＝＝，∴PH＝PQ，

设直线BC解析式为y＝kx+b，将B(4，0)，C（0，﹣4）代入得，解得

∴直线BC解析式为y＝x﹣4，

设P(m，+m﹣4)，Q(m，m﹣4)，则PQ＝+m，

∵＜0，0＜m＜4，

∴当m＝2时，PQ有最大值，此时PH＝PQ有最大值，

∴P(2，2)，

将△PMB绕点B顺时针旋转120°得△P′M′B，连接MM′，过点P′作P′R⊥x轴于点R，

∵tan∠PBE＝＝＝，∴∠PBE＝30°，

∴∠P′BR＝180°﹣120°﹣30°＝30°，P′B＝PB＝4，

则P′(6，2)，AP′＝＝，

∴AM+BM+PM＝AM+MM′+PM≥AP′＝；

（2）存在．如图2，设N(，n)，

∵D(0，﹣2)，∴AD＝＝，

∴抛物线y＝﹣x2+x﹣4沿射线AD方向平移个单位实际是向左平移个单位，向下平移2个单位，

∴C′(﹣，﹣6)，新抛物线y′＝，

①当C′B为矩形对角线，点N在C′B下方时，易求直线C′B解析式为y＝x﹣，

∴矩形对角线交点坐标为(，﹣3)，

∵NS＝C′B＝，

∴N1 (，﹣3﹣)，S1 (，﹣3+)，

N2 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，

②当C′B为矩形的边，C′B⊥C′N时，由C′N2+C′B2＝BN2可得：

+(﹣6﹣n)2++(﹣6﹣0)2

＝+(0﹣n)2，

解得：n＝﹣∴N3(，﹣)，

∵C′N∥BS，

∴S3(，)；

③当C′B为矩形的边，C′B⊥BN时，由BN2+C′B2＝C′N2可得：

+(n﹣0)2++(﹣6﹣0)2

＝+(﹣6﹣n)2，

解得：n＝

∴N4(，)．

∵BN∥C′S，

∴S4(，)；

综上所述，点S的坐标为：S1 (，﹣3+)，S2 (，﹣3﹣)，S3(，)，S4(，)．