Question

22、如图，在⊙O中，弦AB=10，CD=8，弦AB和CD相交于点E，连接AD和BC．
（1）求证：△AED∽△CEB；
（2）当弦AB不动，弦CD移动时，是否存在一个位置使CE=ED？若存在，请求出BC：AD的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在△AED和△CEB中，∠AED和∠CEB为对顶角相等，∠A和∠C为同弧所对的圆周角相等，所以两三角形相似；
（2）由（1）知△AED∽△CEB；所以BC：AD=BD：DE，而CE=ED，且CD=8，所以CE=DE=4，只需求出BE的长，而BE的长可通过△AED∽△CEB，得出CE：AE=BE：DE；从而列方程解得BE有两个值，AE也就有两个值，因此BC：AD的值即可求出．

解答：解：（1）在△AED和△CEB中，
∵∠AED=∠CEB；
且∠A和∠C同为弧BD所对的圆周角；
∴∠A=∠C；
∴△AED∽△CEB；

（2）∵△AED∽△CEB；
∴BC：AD=BE：DE；
CE：AE=BE：DE；
在CE：AE=BE：DE中
CE=DE=4，AE+BE=10；
∴4：（10-BE）=BE：4；
解之得BE=2或8；
∴在BC：AD=BD：DE中
BC：AD=1：2或者BC：AD=2．

点评：此题主要考查了三角形相似的判定以及对应线段成比例，难易程度适中．