【题目】已知,抛物线y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m(m是常数).
(Ⅰ)当m=1时,求该抛物线与x轴的公共点的坐标;
(Ⅱ)抛物线与x轴相交于不同的两点A,B.
①求m的取值范围;
②无论m取何值,该抛物线都经过非坐标轴上的定点P,当<m≤8时,求△PAB面积的最大值,并求出相对应的m的值.
【答案】(1)(﹣1,0)或(2,0);(2)①m≠0且m≠;②
【解析】
(1)把m=1,y=0代入抛物线可得x2﹣x﹣2=0,然后解这个一元二次方程即可;
(2)①根据题意得出△=(1-2m)2-4×m×(1-3m)=(1-4m)2>0,得出1-4m≠0,解不等式即可;
②y=m(x2-2x-3)+x+1,故只要x2-2x-3=0,那么y的值便与m无关,解得x=3或x=-1(舍去,此时y=0,在坐标轴上),故定点为(3,4);由|AB|=|xA-xB|得出|AB|=|-4|,由已知条件得出≤<4,得出0<|-4|≤,因此|AB|最大时,|-4|=,解方程得出m=8,或m=(舍去),即可得出结果.
解:(Ⅰ)把m=1,y=0代入抛物线可得x2﹣x﹣2=0,
解得x1=﹣1,x2=2,
故该抛物线与x轴的公共点的坐标为(﹣1,0)或(2,0);
(Ⅱ)①当m=0时,函数为一次函数,不符合题意,舍去;
当m≠0时,
∵抛物线y=mx2+(1﹣2m)x+1﹣3m与x轴相交于不同的两点A、B,
∴△=(1﹣2m)2﹣4×m×(1﹣3m)=(1﹣4m)2>0,
∴1﹣4m≠0,
∴m≠,
∴m的取值范围为m≠0且m≠;
②|AB|=|xA﹣xB|=====||=|﹣4|,
∵<m≤8,
∴≤<4,
∴﹣≤﹣4<0,
∴0<|﹣4|≤,
∴|AB|最大时,||=,
解得:m=8,或m=(舍去),
∴当m=8时,|AB|有最大值,
此时△ABP的面积最大,没有最小值,
则面积最大为: |AB|yP=××4=.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,-3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不存在,请说明理由;
(3)在直线AB的下方抛物线上找一点P,连接PA,PB使得△PAB的面积最大,并求出这个最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
(1)求A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形PQMN的周长最大时,求△AEM的面积;
(3)在(2)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ.过抛物线上一点F作y轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=DQ,求点F的坐标.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校在宣传“民族团结”活动中,采用四种宣传形式:A.器乐,B.舞蹈,C.朗诵,D.唱歌.每名学生从中选择并且只能选择一种最喜欢的,学校就宣传形式对学生进行了抽样调查,并将调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图.
请结合图中所给信息,解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有_____人;
(2)补全条形统计图;
(3)该校共有1200名学生,请估计选择“唱歌”的学生有多少人?
(4)七年一班在最喜欢“器乐”的学生中,有甲、乙、丙、丁四位同学表现优秀,现从这四位同学中随机选出两名同学参加学校的器乐队,请用列表或画树状图法求被选取的两人恰好是甲和乙的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(1)请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1,并写出点A1的坐标.
(2)请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2.
(3)求出(2)中C点旋转到C2点所经过的路径长(结果保留根号和π).
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,点D是⊙O的直径CA延长线上一点,点B在⊙O上,且∠DBA=∠BCD.
(1)根据你的判断:BD是⊙O的切线吗?为什么?.
(2)若点E是劣弧BC上一点,AE与BC相交于点F,且△BEF的面积为10,cos∠BFA=,那么,你能求出△ACF的面积吗?若能,请你求出其面积;若不能,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,点P是圆外一点,PA切⊙O于点A,且PA=PB.
(1)求证:PB是⊙O的切线;
(2)已知PA=,∠ACB=60°,求⊙O的半径.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB,BC分别相切于点D,E,过劣弧DE(不包括端点D,E)上任一点P作⊙O的切线MN,与AB,BC分别交于点M,N,若⊙O的半径为r,则Rt△MBN的周长为( )
A. r B. r C. 2r D. r
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具,很快售完,第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元,用去了150元,所购玩具数量比第一次多了10件,两批玩具的售价均为2.8元,问:第二次采购玩具多少件?(说明:根据销售常识,批发价应该低于销售价)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com