Question

20．已知抛物线y=ax²+bx+c，其中2a=b＞0＞c，且a+b+c=0．
（1）直接写出关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根；
（2）证明：抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在第三象限；
（3）直线y=x+m与x，y轴分别相交于B，C两点，与抛物线y=ax²+bx+c相交于A，D两点．设抛物线y=ax²+bx+c的对称轴与x轴相交于E．如果在对称轴左侧的抛物线上存在点F，使得△ADF与△BOC相似，并且S_△ADF=$\frac{1}{2}$S_△ADE，求此时抛物线的表达式．

Answer 1

分析 （1）根据a+b+c=0，结合方程确定出方程的一个根即可；
（2）表示出抛物线的对称轴，将2a=b代入，并结合a+b+c=0，表示出c，判断顶点坐标即可；
（3）根据表示出的b与c，求出方程的解确定出抛物线解析式，由直线y=x+m与x，y轴交于B，C两点，表示出OB=OC=|m|，可得出三角形BOC为等腰直角三角形，确定出三角形ADE面积，根据三角形ADF等于三角形ADE面积的一半求出a的值，即可确定出抛物线解析式．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c，a+b+c=0，
∴关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的一个根为x=1；
（2）证明：∵2a=b，
∴对称轴x=-$\frac{b}{2a}$=-1，
把b=2a代入a+b+c=0中得：c=-3a，
∵a＞0，c＜0，
∴△=b²-4ac＞0，
∴$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＜0，
则顶点A（-1，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）在第三象限；
（3）由b=2a，c=-3a，得到x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$=$\frac{-2a±4a}{2a}$，
解得：x₁=-3，x₂=1，
二次函数解析式为y=ax²+2ax-3a，
∵直线y=x+m与x，y轴分别相交于点B，C两点，则OB=OC=|m|，
∴△BOC是以∠BOC为直角的等腰直角三角形，即此时直线y=x+m与对称轴x=-1的夹角∠BAE=45°，
∵点F在对称轴左侧的抛物线上，则∠DAF＞45°，此时△ADF与△BOC相似，
顶点A只可能对应△BOC的直角顶点O，即△ADF是以A为直角顶点的等腰直角三角形，且对称轴为x=-1，
设对称轴x=-1与OF交于点G，
∵直线y=x+m过顶点A（-1，-4a），
∴m=1-4a，
∴直线解析式为y=x+1-4a，
联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1-4a}\\{y=a{x}^{2}+2ax-3a}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=-4a}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{a}-1}\\{y=\frac{1}{a}-4a}\end{array}\right.$，
这里（-1，-4a）为顶点A，（$\frac{1}{a}$-1，$\frac{1}{a}$-4a）为点D坐标，
点D到对称轴x=-1的距离为$\frac{1}{a}$-1-（-1）=$\frac{1}{a}$，AE=|-4a|=4a，
∴S_△ADE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{a}$×4a=2，即它的面积为定值，
这时等腰直角△ADF的面积为1，
∴底边DF=2，
而x=-1是它的对称轴，此时D、C重合且在y轴上，由$\frac{1}{a}$-1=0，
解得：a=1．
此时抛物线解析式为y=x²+2x-3．

点评 此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数的关系，以及待定系数法求函数解析式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．