Question

如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E，过点C作AD的垂线交AD的延长线于点F．
（1）说明△AEB≌△CFD的理由；
（2）连接AC、BD，AC与DB交于点O（如图2），若BE=1．
①当DC=2时，求FC的长度；
②当CD是∠ACF的平分线时，求DB的长度与菱形ABCD的边长．

Answer 1

分析：（1）首先这两个三角形是直角三角形，可根据菱形的性质四边相等，对边平行，可得到AB=DC，AE=CF；
（2）因为三角形AEB是直角三角形，可根据勾股定理求解；
（3）用角平分线上的点到两边的距离相等的性质以及勾股定理可求出DB的长度与菱形ABCD的边长．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵AE⊥CE，CF⊥AF，
∴AE=CF，
∴在直角三角形AEB和直角三角形CFD中

AB=CD AE=CF

，
∴△AEB≌△CFD；

（2）①∵△AEB≌△CFD，
∴DF=BE=1，
∴FC=

22-12

=

3

，
②当CD是∠ACF的平分线时
∵∠DOC=90°，∠CFD=90°，
∴DO=DF=1，
∴DB=2，
∵CD是∠ACF的平分线，
∴∠ECA=∠DCA=∠DCF=30°，
∴∠BCD=60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴菱形ABCD的边长为2．

点评：本题考查菱形的性质，勾股定理以及角平分线上的点到两边的距离相等，和直角三角形全等的判定，关键是熟记这些性质定理和判定定理．