Question

在平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
（1）AC与EF互相平分吗？试说明理由．
（2）若∠B=60°，BE=2CE，AB=4，求四边形AECF的周长和面积．

Answer 1

分析：（1）平行四边形中对角相等，且AE、CF分别为对角平分线，所以∠EAF=∠FCB，又因为AD和BC平行，所以∠BEA=∠EAF=∠BCF，即AE和CF平行，因此两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以AC和EF互相平分；
（2）因为∠B=60°，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，所以三角形ABE为一个边长为4的等边三角形，从而根据BE=2CE知EC=2，即所求平行四边形底边为2，在过A点作高后，根据B的度数，AB的长用正弦函数可求出高，然后根据面积公式进行计算即可．

解答：解：（1）AC，EF互相平分．
证明如下：
∵四边形ABCD为平行四边形
∴∠BAD=∠BCD，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA
又∵AE，CF分别平分∠BAD，和∠BCD．
∴∠BAE=∠DAE=

1

2

∠BAD，
∠BCF=∠DCF=

1

2

∠BCD，
∵∠BAD=∠BCD，
∴∠DAE=∠BCF
又∵∠DAE=∠BEA，
∴∠BEA=∠BCF∴AE∥CF
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AC，EF互相平分；

（2）∵∠BAE=∠DAE，∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，又∠B=60°，
∴△ABE为等边三角形，
∴AB=BE=AE=4，
又BE=2CE，
∴CE=2，
∴平行四边形AECF周长为：（2+4）×2=12，
过点A作AH⊥BE于H，则BH=

1

2

BE=2，
∴AH=

AB2-BH2

=

42-22

=

12

=2

3

，
∴S_{平行四边形AECF}=CE•AH=2×2

3

=4

3

．

点评：此题主要考查了平行四边形的性质和判定，灵活应用性质是解题的关键．