Question

4．如果x²-3x+1=0，求值：
（1）x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$；
（2）x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$；
（3）$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+3{x}^{3}+1}$．

Answer 1

分析 （1）直接将已知变形得出x+$\frac{1}{x}$=3求出即可；
（2）利用（1）中所求，得出x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2求出即可；
（3）利用分子与分母同除以x²，进而化简，再利用已知求出x的值，得出答案．

解答 解：（1）∵x²-3x+1=0，
∴x-3+$\frac{1}{x}$=0，
∴x+$\frac{1}{x}$=3，
∴（x+$\frac{1}{x}$）²=9，
则x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$=7；

（2）x⁴+$\frac{1}{{x}^{4}}$=（x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$）²-2=49-2=47；

（3）$\frac{{x}^{2}}{{x}^{4}+3{x}^{3}+1}$=$\frac{1}{{x}^{2}+3x+\frac{1}{{x}^{2}}}$=$\frac{1}{3x+7}$，
∵x²-3x+1=0，
∴x=$\frac{3±\sqrt{5}}{2}$，
∴原式=$\frac{1}{3×\frac{3±\sqrt{5}}{2}+7}$=$\frac{23±3\sqrt{5}}{242}$．

点评 此题主要考查了完全平方公式以及分式的混合运算，正确应用完全平方公式是解题关键．