Question

【题目】探索与拓展应用，
已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作菱形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），使∠DAF=60°，连接CF．
（1）如图1，当点D在边BC上时，求证：①BD=CF；②AC=CF+CD；

（2）如图2，当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD是否成立？若不成立，请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，当点D在边CB的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD之间存在的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）解：证明：∵菱形AFED，
∴AF=AD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°=∠DAF，
∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中

∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，
即①BD=CF，②AC=CF+CD
（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD，
理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，
即∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴BD=CF，
∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，
即AC=CF﹣CD
（3）解：AC=CD﹣CF．理由是：
∵∠BAC=∠DAF=60°，
∴∠DAB=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，
∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，
即AC=CD﹣CF
【解析】（1）由菱形的性质证得AF=AD，根据等边三角形的性质证得∠BAD=∠CAF，即可证得△BAD≌△CAF，得出CF=BD即可求得AC=CF+CD．
（2）借鉴（1）的方法，证得AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60°，然后根据三角形全等求得BD=CF，即可证得AC=CF-CD．
（3）可运用（1）、（2）的思路方法．