Question

13．如图，△ABC为等腰Rt△，∠ACB=90°，D为AC中点，F为AB延长线上一点，作DE∥BC，且∠ECF=45°，说明CE、EF的关系．

Answer 1

分析 先判断出△CHE∽△CBF，从而得出CF=$\sqrt{2}$CE，再构造出等腰直角三角形，再判断出FG=EG，从而得出△EFG是等腰直角三角形，即可得出结论．

解答 解：CE=EF，CE⊥EF．
理由：如图，连接CH，
∵DE∥BC，点D是AC中点，
∴AH=BH，∠EHB=∠AHD=45°
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CHB=90°，BC=$\sqrt{2}$CH=$\sqrt{2}$BH，∠BCH=45°，
∵∠ECF=45°，
∴∠BCF=∠HCE，
∠ABC=45°，
∴∠CBF=135°，
∵∠CHE=∠CHB+∠BHE=135°，
∴∠CHE=∠CBF，
∴△CHE∽△CBF，
∴$\frac{CE}{CF}=\frac{CH}{BC}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，
∴CF=$\sqrt{2}$CE，
过点E作EG⊥CF，
在Rt△CFG中，∠ECF=45°，
∴∠CEG=45°，CE=$\sqrt{2}$EG=$\sqrt{2}CG$，
∴FG=CF-CG=2EG-EG=EG，
∴∠EFC=∠FEG=45°
∴EF=CE，∠CEF=90°，
即：CE=EF，CE⊥EF．

点评 此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线，等腰直角三角形的判定和性质，解本题的关键是得出CF=$\sqrt{2}$CE，难点是构造等腰直角三角形．