Question

19．如图，在平面直角坐标系中，直线OA与抛物线y=ax²+bx交于原点O和点A（4，-2），点B（5，0）在抛物线上，点P是x轴上一动点，PC⊥OA于点C，连接PA．
（1）求直线OA的关系式及a、b的值；
（2）①点P运动到何位置时，PO=PC，求出此时点P的坐标
         ②点P运动到何位置时，若PA+PC存在最小值，求此最小值．
（3）点M是抛物线上一点，过点MN⊥y轴于点N，若△MON与△AOB相似，请直接写出所有满足条件的点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法直线OA的解析式；对于抛物线，设交点式为y=ax（x-5），然后把A点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式，从而确定b的值；
（2）①先利用勾股定理的逆定理证明△OAB为直角三角形，∠OAB=90°，再根据等腰三角形的性质得到OC=AC，则OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，于是得到P点坐标；
②作A点关于x轴的对称点，作A′C⊥OA交x轴于P，如图1，利用两点之间线段最短判断此时PA+PC的值最小，再证明Rt△A′CA∽Rt△OAB，利用相似比可计算出A′C，从而得到PA+PC的最小值，利用两直线垂直的关系可设此时A′C的解析式为y=2x+p，然后利用待定系数法确定A′C的解析式，再求直线A′C与x轴的交点坐标即可；
（3）设M（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t），则N（0，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t），根据相似三角形的判定方法，当$\frac{ON}{AB}$=$\frac{MN}{OA}$，△MNO∽△OBA或当$\frac{ON}{OA}$=$\frac{MN}{AB}$，△OMN∽△OBA，然后利用相似比建立关于t的方程，解方程求出t即可得到相应M点的坐标．

解答 解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，
把A（4，-2）代入得4k=-2，解得k=-$\frac{1}{2}$，
所以直线OA的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x；
设抛物线解析式为y=ax（x-5），
把A（4，-2）代入得a•4•（-1）=-2，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$x（x-5），即y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{5}{2}$x，
即a=$\frac{1}{2}$，b=-$\frac{5}{2}$；

（2）①∵A（4，-2），B（5，0），
∴OB=5，OA=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，AB=$\sqrt{5}$，
∴OA²+AB²=OB²，
∴△OAB为直角三角形，∠OAB=90°，
当PO=PA时，PC⊥OA
∴PC∥AB，OC=AC，
∴OP=PB，即OP=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴P点坐标为（$\frac{5}{2}$，0）；
②作A点关于x轴的对称点，作A′C⊥OA交x轴于P，如图1，
∵PA=PC′，
∴PA+PC=PA′+PC=A′C，
∴此时PA+PC的值最小，
∵点A和点A′关于x轴的对称，
∴A′（4，2），
∴AA′=4，
∵∠A′=∠AOB，
∴Rt△A′CA∽Rt△OAB，
∴$\frac{A′C}{OA}$=$\frac{AA′}{OB}$，即$\frac{A′C}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4}{5}$，解得A′C=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
即PA+PC的最小值为$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
设此时A′C的解析式为y=2x+p，
把A′（4，2）代入得8+p=2，解得p=-6，
∴此时A′C的解析式为y=2x-6，
当y=0时，2x-6=0，解得x=3，
此时P点坐标为（3，0）；

（3）设M（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t），则N（0，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t），
∵∠ONM=∠OAB，
∴当$\frac{ON}{AB}$=$\frac{MN}{OA}$，△MNO∽△OBA，即$\frac{|\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t|}{\sqrt{5}}$=$\frac{|t|}{2\sqrt{5}}$，
即t²-5t=t或t²-5t=-t，解得t=6或t=4，此时M点的坐标为（6，3），（4，-2）；
当$\frac{ON}{OA}$=$\frac{MN}{AB}$，△OMN∽△OBA，
即$\frac{|\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{5}{2}t|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{|t|}{\sqrt{5}}$，即$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t=2t或$\frac{1}{2}$t²-$\frac{5}{2}$t=-2t，解得t=9或t=1，此时M点的坐标为（9，18），（1，-2）；
综上所述，满足条件的点M的坐标为（6，3），（4，-2），（9，18），（1，-2）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、勾股定理的逆定理和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用两间之间线段最短解决最短路径问题；会利用分类讨论的思想解决数学问题．