Question

【题目】如图，在直角坐标系中，长方形ABCD（每个内角都是90°）的顶点的坐标分别是A（0，m），B（n，0），（m＞n＞0），点E在AD上，AE＝AB，点F在y轴上，OF＝OB，BF的延长线与DA的延长线交于点M，EF与AB交于点N．

（1）试求点E的坐标（用含m，n的式子表示）；

（2）求证：AM＝AN；

（3）若AB＝CD＝12cm，BC＝20cm，动点P从B出发，以2cm/s的速度沿BC向C运动的同时，动点Q从C出发，以vcm/s的速度沿CD向D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）E（m，m+n）；（2）详见解析；（3）存在，cm/s或2cm/s．

【解析】

（1）过E作EG⊥AO于G．证明△EGA≌△AOB（AAS）即可解决问题．

（2）想办法证明△EAN≌△BAM（ASA）即可解决问题．

（3）分两种情形分别求解即可解决问题．

解：（1）过E作EG⊥AO于G．

∵∠EGA＝∠EAB＝∠AOB＝90°，

∴∠EAG+∠AEG＝90°，∠EAG+∠BAO＝90°，

∴∠BAO＝∠AEG，

∵AE＝AB，

∴△EGA≌△AOB（AAS），

∴EG＝OA＝m，AG＝OB＝n

∴E（m，m+n）．

（2）∵OB＝OF，∠BOF＝90°，

∴∠OFB＝∠OBF＝45°，

∵△EGA≌△AOB，

∴AG＝OB＝OF，

∴OA＝FG＝EG，

∴∠GFE＝45°，

∴∠EFB＝90°，

∴∠NAE＝∠NFB＝90°，∵∠ANE＝∠FNB，

∴∠AEN＝∠ABM，

∵∠EAN＝∠BAM＝90°，EA＝BA，

∴△EAN≌△BAM（ASA），

∴AN＝AM．

（3）如图，∵△ABP与△PCQ全等，∠ABP＝∠PCQ＝90°

∴有两种情形：①当AB＝CD，PB＝CP时，t＝＝5（s），

∴v＝（cm/s），

②当AB＝PC，CQ＝PB时，

PB＝20﹣12＝8，

∴t＝＝4（s），

∴v＝＝＝2（cm/s）．

综上可知，当 cm/s或2 cm/s时，△ABP与△PQC全等.