Question

4．已知x²-5x+1=0．求
（1）x²+$\frac{1}{x^2}$的值；
（2）x⁴+$\frac{1}{x^4}$的值；
（3）x-$\frac{1}{x}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据x²-5x+1=0，通过变形可以得到$x+\frac{1}{x}$的值，从而可以得到x²+$\frac{1}{x^2}$的值；
（2）根据（1）中x²+$\frac{1}{x^2}$的值，可以求得x⁴+$\frac{1}{x^4}$的值；
（3）根据根据（1）中x²+$\frac{1}{x^2}$的值，可以求得$（x-\frac{1}{x}）^{2}$的值，从而可以求得x-$\frac{1}{x}$的值．

解答 解：（1）∵x²-5x+1=0，
∴x²+1=5x，
∴$x+\frac{1}{x}=5$，
∴$（x+\frac{1}{x}）^{2}=25$，
∴${x^2}+2+\frac{1}{x^2}=25$，
∴${x^2}+\frac{1}{x^2}=23$；
（2）∵${x^2}+\frac{1}{x^2}=23$，
∴${x}^{4}+2+\frac{1}{{x}^{4}}=529$，
∴${x^4}+\frac{1}{x^4}$=527；
（3）${（x-\frac{1}{x}）^2}={（x+\frac{1}{x}）^2}-4=21$，
∴$x-\frac{1}{x}=±\sqrt{21}$．

点评 本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式化简求值的方法．