Question

【题目】已知等边和等腰，，．

（1）如图1，点在上，点在上，是的中点，连接，，则线段与之间的数量关系为 ；

（2）如图2，点在内部，点在外部，是的中点，连接，，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

（3）如图3，若点在内部，点和点重合，点在下方，且为定值，当最大时，的度数为 ．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）成立，理由见解析；

（3）

【解析】

（1）根据等边三角形的性质，，，可得是等边三角形，是的中点，利用等边三角形三线合一性质，以及得出，所以PD是中位线，得出点D是BC的中点，AD=CE，可得出结论．

（2）作辅助线，延长ED到F，使得，使得是等边三角形，PD是的中位线，通过证明三角形全等得出可证明结论．

（3）作出等腰，由旋转模型证明三角形，利用P、C、K三点共线时，PK最大，即PD最大可求解得．

（1）根据图1，在等边和等腰中，

，，

，，

是等边三角形，

是的中点，

，

，，

PD是中位线

分别是的中点，

，

故答案为：．

（2）结论成立．

理由：如下图中，延长ED到F，使得，连接FC，BF，

，

是等边三角形，

，

在和中

，

，

，

故答案为：结论成立；

（3）作，且，

连接PK，DK，

则为等腰三角形，

在和中

，

，

即为定值．

P、C、K三点共线时，PK最大，即PD最大，

此时，，

故答案为：．