Question

14．连结正方形四边中点所构成的正方形，我们称其原正方形的中点正方形，如图，已知正方形ABCD的中点正方形是A₁B₁C₁D₁，再作正方形A₁B₁C₁D₁的中点正方形A₂B₂C₂D₂，…这样不断地作下去，第n次所做的中点正方形 A_nB_nC_nD_n，若正方形ABCD的边长为1，则第10次所作的中点正方形边长为$\frac{1}{32}$，若设中点正方形 A_nB_nC_nD_n的面积为S_n，则S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=$\frac{1023}{1024}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理找出A₁B₁、A₂B₂、A₃B₃的长度，根据数据的变化找出变化规律“A_nB_n=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$”，依此规律结合正方形的面积公式即可得出结论．

解答 解：观察，发现规律：AB=1，A₁B₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，A₂B₂=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A₁B₁=$\frac{1}{2}$，A₃B₃=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A₂B₂=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，…，
∴A_nB_n=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$．
当n=10时，A₁₀B₁₀=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{10}$=$\frac{1}{32}$．
设S₁+S₂+S₃+…+S₁₀=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{1024}$=S，则$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{1024}$+$\frac{1}{2048}$，
∴S-$\frac{1}{2}$S=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2048}$=$\frac{1023}{2048}$，
∴S=$\frac{1023}{1024}$．
故答案为：$\frac{1}{32}$；$\frac{1023}{1024}$．

点评 本题考查了勾股定理、正方形的面积公式以及规律型中图形的变化类，解题的关键是找出变化规律“A_nB_n=$（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{n}$”．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据勾股定理找出部分正方形的边长，根据边长的变化找出变化规律是解题的关键．