Question

【题目】已知，点P是等边△ABC内一点，PA=4,PB=3,PC=5.线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ,连接PQ.(1)求PQ的长。（2）求∠APB的度数。

Answer 1

【答案】（1）4（2）150°

【解析】试题分析：（1）由旋转的性质可知AP=AQ，然后可证明△APQ为等边三角形，从而可求得PQ的长；

（2）先依据等边三角形的性质证明△APB≌△AQC，从而得到QC的长，然后依据勾股定理的逆定理证明△PQC为直角三角形，故此可求得∠AQC的度数，从而得到∠APB的度数．

解：（1）∵AP=AQ，∠PAQ=60°

∴△APQ是等边三角形，

∴PQ=AP=4．

（2）连接QC．

∵△ABC、△APQ是等边三角形，

∴∠BAC=∠PAQ=60°，

∴∠BAP=∠CAQ=60°﹣∠PAC．

在△ABP和△ACQ中，

∴△ABP≌△ACQ．

∴BP=CQ=3，∠APB=∠AQC，

∵在△PQC中，PQ2+CQ2=PC2

∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°

∵△APQ是等边三角形，

∴∠AQP=60°

∴∠APB=∠AQC=60°+90°=150°．