(1)证明:∵AD=AB,∴∠ABD=∠D,
∵∠BAC=∠ABD+∠D,
∴∠BAC=2∠D,
即2∠D=∠BAC;
(2)过点B做BE⊥AC于E,作∠C的平分线交BE于F,
设AE=x,
在RtABE和RtCBE中
BE
2=AB
2-AE
2BE
2=BC
2-CE
2AB
2-AE
2=BC
2-CE
2c
2-x
2=a
2-(b-x)
2c
2=a
2-b
2+2bx
x=
,
x=
,
∵2b=c+a,
∴AE=x=
,
CE=b-x=
-
=
,
又BE
2=BC
2-CE
2则BE
2=
DE=c+x=
,
∠D=
∠BAC(已证)
∵tan
∠BAC•tan
∠BCA=
•
,
∴在RtCEB中,根据角平分线的性质
=
,
=
=
,
=
,
=
,
EF=
BE,
∴tan
∠BAC•tan
∠BCA=
•
=
=
=
=
=
.
分析:(1)根据AD=AB,得∠ABD=∠D,再根据外角的性质得出2∠D=∠BAC;
(2)延长AC到E,使CE=BE,连接BE,可证明∠BCA=2∠E,根据题意可得出△BDE是直角三角形,从而得出答案.
点评:本题考查了解直角三角形、勾股定理的逆定理、三角函数的定义,是基础知识要熟练掌握.