Question

【题目】在Rt△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，动点P以3cm/s从点B出发向终点C运动；动点Q以1cm/s从点C出发向终点B运动，动点P，Q同时出发，以PQ为直径在BC上方作半圆O，设运动时间为t(s).

（1）当t=1时，半圆O的半径R=_______；

（2）当半圆O落在△ABC的内部（包括边界）时，求t的取值范围；

（3）当点P在Q的左边时，过点P作PE//AB交半圆于点E.，求tan∠EAC的值.

Answer 1

【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）.

【解析】

（1）根据题意求出BP、QC的长即可.（2）分类讨论：①当点P在点Q的左侧且半圆O与边AC相切时，可证明△ODC∽△BAC，可知，根据BP=3t，CQ=t，代入求出t的值即可.；②当点P在点Q的右侧，且半圆O与边AC相切时，同理可证△ODC∽△BAC，PQ=4t-10，可求出CP=10-3t，CO=5-t根据相似三角形各边的比例关系求出t即可.结合两点求出t的取值范围即可.（3）由PE//AB可知△PFC∽△BAC，∠AFP=∠AFC=90°，得 ，可求出PF、CF的值，进而求出AF的长，连接EQ，同理可求长PE的长，进而求出EF的长，根据正切定义求出tan∠EAC的值即可.

（1）∵t=1，

∴BP=3，QC=1，

∴PQ=6，R=3.

（2）①当点P在点Q的左侧且半圆O与边AC相切时，

记切点为D，即OD⊥AC

∵∠BAC=Rt∠

∴OD//AB

∴△ODC∽△BAC

∴

∵BP=3t，CQ=t ∴PQ=10-4t即OD=PO=OQ=5-2t

∴CO=5-t

∴ ∴

②当点P在点Q的右侧，且半圆O与边AC相切时，

同理得，△ODC∽△BAC，

∴

∵BP=3t，CQ=t ∴PQ=4t-10即OD=PO=OQ=2t-5

∵CP=10-3t

∴CO=5-t

∴ ∴

∴

（3）如图所示，PE//AB交AC于点F，连接AE

∴△PFC∽△BAC，∠BAC=∠AFC=90°

∴

∵CP=10-3t

∴

∴，

∴

连接EQ，得∠PEQ=∠PFC=90°

∴EQ//AC

∴△PEQ∽△PFC

同理得

∴

∴