Question

4．如图，在直角坐标系中，直线l：y=-$\frac{3}{4}$x-6与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线x=-2交AB于点C，交x轴于点E，D是直线x=-2上一动点，且在点C的下方，设D（-2，m）．
（1）求点O到直线AB的距离；
（2）当四边形AOBD的面积为38时，求点D的坐标，此时在y轴上找一点M，使△AMD的周长有最小值，请求出周长的最小值；
（3）N点是直线AB上除C点以外的一个动点，问：在x轴上是否存在H点，使得△EHN为等腰直角三角形？若有，请直接写出H点及对应的N点的坐标；若没有，请说明理由

Answer 1

分析 （1）先令x=0和y=0分别求A、B两点的坐标，利用勾股定理求AB的长，根据面积法求OF的长；
（2）根据四边形AOBD的面积为38，利用面积和列式可得D的坐标，根据轴对称最短路径：如图2所示：作点A关于y轴的对称点A′（8，0），连接A′D，交y轴于点M，此时△AMD的周长最小，并根据勾股定理求周长的最小值；
（3）分情况讨论：画图根据图形求N、H的坐标．

解答 解：（1）如图1，当x=0时，y=-6，
∴B（0，-6），
∴OB=6，
当y=0时，-$\frac{3}{4}$x-6=0，
x=-8，
∴A（-8，0），
∴OA=8，
由勾股定理得：AB=10，
过O作OF⊥AB于F，
S_△AOB=$\frac{1}{2}$×6×8=$\frac{1}{2}$×10OF，
∴OF=4.8，
即点O到直线AB的距离是4.8；
（2）如图1，S_{四边形AOBD}=S_△ADE+S_梯形EDBO=38，
∴$\frac{1}{2}$×（8-2）×（-m）+$\frac{1}{2}$（-m+6）×2=38，
m=-8，
∴D（-2，-8）；
如图2所示：作点A关于y轴的对称点A′（8，0），连接A′D，交y轴于点M，此时△AMD的周长最小，
连接AM，
在Rt△A′ED中，由勾股定理得：A′D=$\sqrt{{8}^{2}+（2+8）^{2}}$=2$\sqrt{41}$，
在Rt△AED中，由勾股定理得：AD=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
△AMD的周长=AD+AM+DM=AD+A'M+DM=AD+A'D=10+2$\sqrt{41}$，
即△AMD的周长的最小值是10+2$\sqrt{41}$；
（3）设N（x，-$\frac{3}{4}$x-6），则H（x，0），
①如图3，△EHN为等腰直角三角形，EH=HN，
则x+2=$\frac{3}{4}$x+6，
x=16，
∴H（16，0），N（16，-18）；
②如图4，H在E的左侧时，△EHN为等腰直角三角形，EH₁=H₁N，
则-x-2=$\frac{3}{4}$x+6，
x=-$\frac{32}{7}$，
∴H₁（-$\frac{32}{7}$，0），N（-$\frac{32}{7}$，-$\frac{18}{7}$）；
同理，H₁H₂=EH₁，
∴△EH₂N是等腰直角三角形，
∴N（-$\frac{32}{7}$，-$\frac{18}{7}$），H₂（-$\frac{50}{7}$，0）；
③如图5，同①得：H（34，0），N（16，-18）；
综上所述，H点及对应的N点的坐标有4组：
i）H（16，0），N（16，-18）；
ii）H（-$\frac{32}{7}$，0），N（-$\frac{32}{7}$，-$\frac{18}{7}$）；
iii）N（-$\frac{32}{7}$，-$\frac{18}{7}$），H（-$\frac{50}{7}$，0）；
iiii）H（34，0），N（16，-18）；

点评 本题考查了一次函数的综合应用、三角形的面积、一次函数图象上点的坐标特征、与坐标轴的交点、等腰直角三角形的性质、轴对称的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用面积法求出点O到直线AB的距离；（2）找出△AMD的周长的最小值时，点M的位置；（3）根据等腰直角三角形的性质找出关于x的方程．