Question

17．如图，抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P在抛物线上，且△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2）．

Answer 1

分析 当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，则P点在线段CD的垂直平分线上，由C、D坐标可求得线段CD中点的坐标，从而可知P点的纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标．

解答 解：∵抛物线y=-x²+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3）．
∵△PCD是以CD为底的等腰三角形，
∴点P在线段CD的垂直平分线上，
∵D（0，1），C（0，3），
∴E（0，2），
过点E作PE⊥y轴，交抛物线于点P，则点P即为所求．
∴P点纵坐标为2，
在y=-x²+2x+3中，令y=2，可得-x²+2x+3=2，解得x=1±$\sqrt{2}$，
∴P点坐标为（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2），
故答案为：（1+$\sqrt{2}$，2）或（1-$\sqrt{2}$，2）．

点评 本题主要考查的是二次函数图象上点的坐标特点、等腰三角形的性质，利用等腰三角形的性质求得P点纵坐标是解题的关键．