Question

9．如图：矩形ABCD中，点P从A出发经过1分钟沿AB运动可以到达B点，点Q从B出发经过1分钟沿BC运动可以到达C点，AB=5，BC=10，若P、Q同时出发，问经过多长时间PQ与BD垂直？

Answer 1

分析 先用运动得出BQ=10x，BP=5-5x，再用等角的同名三角函数值相等建立方程求解即可．

解答 解：如图，
设经过x分钟PQ⊥BD，
∴∠BEP∠+∠BPE=90°，
∵点P从A出发经过1分钟沿AB运动可以到达B点，点Q从B出发经过1分钟沿BC运动可以到达C点，
∴BQ=10x，AP=5x，
∴BP=5-5x，
在矩形ABCD中，∠ABC=90°，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∴∠APQ=∠CBD，
在Rt△BCD中，tan∠CBD=$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴tan∠BPQ=$\frac{BQ}{BP}$=$\frac{10x}{5-5x}=\frac{1}{2}$，
∴x=$\frac{1}{3}$，
即：经过$\frac{1}{3}$分钟PQ与BD垂直．

点评 此题是矩形的性质，主要考查了锐角三角函数，同角或等角的余角相等，判断出∠APQ=∠CBD，是解本题的关键．