【题目】如图,直线y=-x+4与x轴交于A点,与y轴交于B点,动点P从A点出发,以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动,点E是点B以Q为对称中心的对称点,同时动点Q从B点出发,以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动,当一个点停止运动,另一个点也随之停止运动,连结PQ,设P,Q两点运动时间为t秒(0<t≤2).
(1)直接写出A,B两点的坐标.
(2)当t为何值时,PQ∥OB?
(3)四边形PQBO面积能否是△ABO面积的;若能,求出此时t的值;若不能,请说明理由;
(4)当t为何值时,△APE为直角三角形?(直接写出结果)
【答案】(1)A(4,0),B(0,4);(2)t=;(3)不能,见解析;(4)当t为时,△APQ为直角三角形.
【解析】
(1)分别令y=0,x=0求解即可得到点A、B的坐标;
(2)利用平行线分线段成比例定理列式计算即可得解.
(3)作QH⊥OA于H,先证明△QAH∽△BAO,利用相似比可得到QH=4﹣t,再利用四边形PQBO面积是△ABO面积的得到S△APQ=S△AOB,利用三角形面积公式得到2t(4﹣t)=×,然后解关于t的方程即可.
(4)分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况,利用∠OAB的余弦列式计算即可得解.
解:(1)令y=0,则﹣x+4=0,
解得x=4,
x=0时,y=4,
∴OA=4,OB=4,
∴点A(4,0),B(0,4);
(2)在Rt△AOB中,由勾股定理得,AB===4,
∵点P的速度是每秒2个单位,点Q的速度是每秒1个单位,
∴AP=2t,AQ=AB﹣BQ=4﹣t,
若PQ∥OB,则∠APQ=∠AOB=90°,则
∴,
解得t=;
(3)如图,作QH⊥OA于H,
∴QH∥OB,
∴△QAH∽△BAO,
∴,即,
∴QH=4﹣t,
当四边形PQBO面积是△ABO面积的时,S△APQ=S△AOB,
∴2t(4﹣t)=×,
整理得t2﹣4t+4=0,此时方程无实数解,
∴四边形PQBO面积不能是△ABO面积的.
(4)若∠APQ=90°,由(2)可知t=;
若∠AQP=90°,则cos∠OAB=,
∴=,
解得t=8﹣4,
∵0<t≤2,
∴t的值为,
∴当t为时,△APQ为直角三角形.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠A=100°,E,F分别是边AB和BC的中点,EP⊥CD于点P,则∠FPC=( )
A. 55°B. 65°C. 50°D. 45°
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【题目】对某一个函数给出如下定义:如果存在常数,对于任意的函数值,都满足≤,那么称这个函数是有上界函数;在所有满足条件的中,其最小值称为这个函数的上确界.例如,函数, ≤2,因此是有上界函数,其上确界是2.如果函数(≤x≤, <)的上确界是,且这个函数的最小值不超过2,则的取值范围是( )
A. ≤ B. C. ≤ D. ≤
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【题目】阅读材料:
“三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆、外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形。”(苏科版《数学》九上 2.3确定圆的条件)
问题初探:
(1)三角形的外心到三角形的_____________距离相等
(2)若点O是△ABC的外心,试探索∠BOC与∠BAC之间的数量关系。
(3)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC。将线段BC绕点B逆时针旋转30°到BD,连接AD、CD。用直尺和圆规在图中作出△BCD的外心O,并求∠ADB的度数。(保留作图痕迹,不写作法。)
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【题目】如图,由4个全等的正方形组成L形图案,请按下列要求画图:
(1)在图①中添加1个正方形,使它成轴对称图形(不能是中心对称图形);
(2)在图②中添加1个正方形,使它成中心对称图形(不能是轴对称图形);
(3)在图③中改变1个正方形的位置,从而得到一个新图形,使它既成中心对称图形,又成轴对称图形.
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上,将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1,然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.
(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2;
(2)计算线段AC从开始变换到A1 C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算)
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【题目】某商场推销一种书包,进价为30元,在试销中发现这种书包每天的销售量P(个)与每个书包销售价x(元)满足一次函数关系式.当定价为35元时,每天销售30个;定价为40元时,每天销售20个.
(1)求P关于x的函数关系式;
(2)如果要保证商场每天销售这种书包获利200元,求书包的销售单价应定为多少元?
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2,动点P从点B出发,以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C,同时动点Q从点A出发,以相同速度沿折线AC→CD运动到点D,当一个点停止运动时,另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y,运动时间为x秒,则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是( )
A. B.
C. D.
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