Question

【题目】如图，直线y＝－x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度沿AO方向向点O匀速运动，点E是点B以Q为对称中心的对称点，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度沿BA方向向点A匀速运动，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连结PQ，设P，Q两点运动时间为t秒（0＜t≤2）．

（1）直接写出A，B两点的坐标．

（2）当t为何值时，PQ∥OB？

（3）四边形PQBO面积能否是△ABO面积的；若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；

（4）当t为何值时，△APE为直角三角形？（直接写出结果）

Answer 1

【答案】（1）A（4，0），B（0，4）；（2）t＝；（3）不能，见解析；（4）当t为时，△APQ为直角三角形．

【解析】

（1）分别令y＝0，x＝0求解即可得到点A、B的坐标；

（2）利用平行线分线段成比例定理列式计算即可得解．

（3）作QH⊥OA于H，先证明△QAH∽△BAO，利用相似比可得到QH＝4﹣t，再利用四边形PQBO面积是△ABO面积的得到S△APQ＝S△AOB，利用三角形面积公式得到2t（4﹣t）＝×，然后解关于t的方程即可．

（4）分∠APQ＝90°和∠AQP＝90°两种情况，利用∠OAB的余弦列式计算即可得解．

解：（1）令y＝0，则﹣x+4＝0，

解得x＝4，

x＝0时，y＝4，

∴OA＝4，OB＝4，

∴点A（4，0），B（0，4）；

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB＝＝＝4，

∵点P的速度是每秒2个单位，点Q的速度是每秒1个单位，

∴AP＝2t，AQ＝AB﹣BQ＝4﹣t，

若PQ∥OB，则∠APQ＝∠AOB＝90°，则

∴，

解得t＝；

（3）如图，作QH⊥OA于H，

∴QH∥OB，

∴△QAH∽△BAO，

∴，即，

∴QH＝4﹣t，

当四边形PQBO面积是△ABO面积的时，S△APQ＝S△AOB，

∴2t（4﹣t）＝×，

整理得t2﹣4t+4＝0，此时方程无实数解，

∴四边形PQBO面积不能是△ABO面积的．

（4）若∠APQ＝90°，由（2）可知t＝；

若∠AQP＝90°，则cos∠OAB＝，

∴＝，

解得t＝8﹣4，

∵0＜t≤2，

∴t的值为，

∴当t为时，△APQ为直角三角形．